Κορωνοϊός και Μαθηματική Εκπαίδευση – Μερικώς παραγγελθείσες συλλογές

Ο ιός που μας έχει χτυπήσει οδηγεί σε ταχεία εκπαιδευτική μεταρρύθμιση. ιδιαίτερα στις ανώτερες βαθμίδες της εκπαίδευσης. Σε αυτό το θέμα, μπορείτε να γράψετε ένα μεγαλύτερο δοκίμιο, σίγουρα θα υπάρξει μια ροή διδακτορικών διατριβών σχετικά με τη μεθοδολογία της εξ αποστάσεως εκπαίδευσης. Από μια άποψη, αυτή είναι μια επιστροφή στις ρίζες και στις ξεχασμένες συνήθειες της αυτομελέτης. Έτσι ήταν, για παράδειγμα, στο γυμνάσιο Kremenets (στο Kremenets, τώρα στην Ουκρανία, που υπήρχε το 1805-31, βλάστησε μέχρι το 1914 και γνώρισε την ακμή του το 1922-1939). Οι μαθητές σπούδασαν μόνοι τους εκεί - μόνο αφού το είχαν μάθει έμπαιναν οι καθηγητές με διορθώσεις, τελικές διευκρινίσεις, βοήθεια σε δύσκολα σημεία κ.λπ. ε. Όταν έγινα φοιτητής έλεγαν και να αποκτήσουμε γνώσεις μόνοι μας, να παραγγέλνουμε και να στέλνουμε μαθήματα στο πανεπιστήμιο. Αλλά τότε ήταν απλώς μια θεωρία...

Την άνοιξη του 2020, δεν είμαι ο μόνος που ανακάλυψα ότι τα μαθήματα (συμπεριλαμβανομένων διαλέξεων, ασκήσεων κ.λπ.) μπορούν να γίνουν πολύ αποτελεσματικά εξ αποστάσεως (Google Meet, Microsoft Teams κ.λπ.), με κόστος πολλής δουλειάς από την πλευρά του δασκάλου και απλώς μια επιθυμία "να πάρει μια εκπαίδευση" από την άλλη πλευρά? αλλά και με κάποια άνεση: κάθομαι στο σπίτι, στην καρέκλα μου και στις παραδοσιακές διαλέξεις, οι μαθητές έκαναν συχνά και κάτι άλλο. Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας εκπαίδευσης μπορεί να είναι ακόμη καλύτερο από το παραδοσιακό, που χρονολογείται από τον Μεσαίωνα, σύστημα μαθημάτων τάξης. Τι θα μείνει από αυτόν όταν ο ιός πάει στην κόλαση; Νομίζω… αρκετά. Αλλά θα δούμε.

Σήμερα θα μιλήσω για μερικώς παραγγελθέντα σετ. Είναι απλό. Δεδομένου ότι μια δυαδική σχέση σε ένα μη κενό σύνολο X ονομάζεται σχέση μερικής τάξης όταν υπάρχει

(Tadeusz Kotarbynskyi, 1886-1981, φιλόσοφος,

Πρόεδρος της Πολωνικής Ακαδημίας Επιστημών το 1957-1962).

1. Ανακλαστικό, δηλ. για κάθε ∈ υπάρχει ",
2. Περαστικός, δηλ. εάν ", και ", τότε ",
3. Ημι-ασύμμετρη, δηλ. ("∧")→ =

Μια συμβολοσειρά είναι ένα σύνολο με την ακόλουθη ιδιότητα: για οποιαδήποτε δύο στοιχεία, αυτό το σύνολο είναι είτε "ή y". Το Antichain είναι...

Σταμάτα σταμάτα! Μπορεί να γίνει κατανοητό κάτι από αυτά; Φυσικά είναι. Όμως, κάποιος από τους Αναγνώστες (γνωρίζοντας το αντίθετο) έχει ήδη καταλάβει τι υπάρχει εδώ;

Μη νομίζεις! Και αυτός είναι ο κανόνας της διδασκαλίας των μαθηματικών. Επίσης στο σχολείο. Πρώτα, ένας αξιοπρεπής, αυστηρός ορισμός και μετά, αυτοί που δεν κοιμήθηκαν από την πλήξη σίγουρα κάτι θα καταλάβουν. Αυτή τη μέθοδο επέβαλλαν οι «μεγάλοι» καθηγητές των μαθηματικών. Πρέπει να είναι προσεκτικός και αυστηρός. Είναι αλήθεια ότι έτσι πρέπει να είναι τελικά. Τα μαθηματικά πρέπει να είναι μια ακριβής επιστήμη (δείτε επίσης: ).

Οφείλω να ομολογήσω ότι στο πανεπιστήμιο που εργάζομαι μετά τη σύνταξη από το Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, δίδαξα και τόσα χρόνια. Μόνο που μέσα ήταν ο περιβόητος κουβάς με κρύο νερό (ας μείνει έτσι: χρειαζόταν ένας κουβάς!). Ξαφνικά, η υψηλή αφαίρεση έγινε ελαφριά και ευχάριστη. Δώστε προσοχή: εύκολο δεν σημαίνει εύκολο. Δυσκολεύεται και ο ελαφρύς πυγμάχος.

Χαμογελώ στις αναμνήσεις μου. Διδάχτηκα τα βασικά των μαθηματικών από τον τότε κοσμήτορα του τμήματος, έναν πρωτοκλασάτο μαθηματικό που μόλις είχε φτάσει από μια μακρά παραμονή στις Ηνωμένες Πολιτείες, που εκείνη την εποχή ήταν κάτι το εξαιρετικό από μόνο του. Νομίζω ότι ήταν λίγο σνομπ όταν ξέχασε λίγο τα πολωνικά. Καταχράστηκε το παλιό πολωνικό «τι», «άρα», «αζαλέα» και επινόησε τον όρο: «ημιασύμμετρη σχέση». Μου αρέσει να το χρησιμοποιώ, είναι πραγματικά ακριβές. Μου αρέσει. Αλλά δεν το απαιτώ αυτό από τους μαθητές. Αυτό συνήθως αναφέρεται ως «χαμηλή αντισυμμετρία». Δέκα όμορφες.

Πριν από πολύ καιρό, γιατί στη δεκαετία του εβδομήντα (του περασμένου αιώνα) έγινε μια μεγάλη, χαρούμενη μεταρρύθμιση της διδασκαλίας των μαθηματικών. Αυτό συνέπεσε με την έναρξη της σύντομης περιόδου της βασιλείας του Eduard Gierek - ένα ορισμένο άνοιγμα της χώρας μας στον κόσμο. «Τα παιδιά μπορούν επίσης να διδαχθούν ανώτερα μαθηματικά», αναφώνησαν οι Μεγάλοι Δάσκαλοι. Μια περίληψη της πανεπιστημιακής διάλεξης «Βασικές αρχές των Μαθηματικών» συντάχθηκε για παιδιά. Αυτή ήταν μια τάση όχι μόνο στην Πολωνία, αλλά σε ολόκληρη την Ευρώπη. Η επίλυση της εξίσωσης δεν ήταν αρκετή, έπρεπε να εξηγηθεί κάθε λεπτομέρεια. Για να μην είναι αβάσιμος, καθένας από τους Αναγνώστες μπορεί να λύσει το σύστημα των εξισώσεων:

αλλά οι μαθητές έπρεπε να αιτιολογούν κάθε βήμα, να αναφέρονται σε σχετικές δηλώσεις κ.λπ. Αυτό ήταν μια κλασική υπέρβαση φόρμας έναντι περιεχομένου. Είναι εύκολο για μένα να ασκήσω κριτική τώρα. Και εγώ κάποτε ήμουν υποστηρικτής αυτής της προσέγγισης. Είναι συναρπαστικό... για νέους που είναι παθιασμένοι με τα μαθηματικά. Αυτό, φυσικά, ήταν (και, για χάρη της προσοχής, εγώ).

Αρκετή όμως η λυρική παρέκβαση, ας περάσουμε στη δουλειά: μια διάλεξη που προοριζόταν «θεωρητικά» για δευτεροετείς φοιτητές του Πολυτεχνείου και θα ήταν ξερή σαν νιφάδες καρύδας αν όχι εκείνη. Υπερβάλλω λίγο...

Καλημέρα σας. Το σημερινό θέμα είναι ο μερικός καθαρισμός. Όχι, αυτό δεν είναι ένας υπαινιγμός απρόσεκτου καθαρισμού. Η καλύτερη σύγκριση θα ήταν να σκεφτείτε ποιο είναι καλύτερο: σούπα ντομάτας ή κέικ κρέμας. Η απάντηση είναι ξεκάθαρη: ανάλογα με το τι. Για επιδόρπιο - μπισκότα, και για ένα θρεπτικό πιάτο: σούπα.

Στα μαθηματικά ασχολούμαστε με αριθμούς. Διατάσσονται: είναι όλο και μικρότεροι, αλλά από δύο διαφορετικούς αριθμούς, ο ένας είναι πάντα μικρότερος, πράγμα που σημαίνει ότι ο άλλος είναι μεγαλύτερος. Είναι τακτοποιημένα με τη σειρά, όπως τα γράμματα στο αλφάβητο. Στο ημερολόγιο της τάξης, η σειρά μπορεί να είναι η εξής: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (είναι φίλοι και συμμαθητές από την τάξη μου!). Δεν έχουμε επίσης καμία αμφιβολία ότι ο Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Το σύμβολο για τη «διπλή ανισότητα» έχει τη σημασία «πριν».

Στο ταξιδιωτικό μου κλαμπ, προσπαθούμε να κάνουμε τις λίστες αλφαβητικές, αλλά ονομαστικά, για παράδειγμα, Alina Wronska "Warbara Kaczarska", Cesar Bouschitz κ.λπ. Στα επίσημα αρχεία, η σειρά θα αντιστραφεί. Οι μαθηματικοί αναφέρονται στην αλφαβητική σειρά ως λεξικογραφική (ένα λεξικό μοιάζει λίγο πολύ με ένα λεξικό). Από την άλλη, μια τέτοια σειρά, στην οποία σε ένα όνομα που αποτελείται από δύο μέρη (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) εξετάζουμε πρώτα το δεύτερο μέρος, είναι μια αντιλεξικογραφική διάταξη για τους μαθηματικούς. Μεγάλοι τίτλοι, αλλά πολύ απλό περιεχόμενο.

1. Γραμμική σειρά: σταθμοί και στάσεις στον σιδηρόδρομο Habovka-Zakopane από το Podhale, που κατασκευάστηκε το 1899 (την αποκωδικοποίηση των συντομογραφιών αφήνω στον αναγνώστη).

Όλες αυτές οι εντολές ονομάζονται εντολές γραμμής. Παραγγέλνουμε με τη σειρά μας: πρώτο, δεύτερο, τρίτο. Όλα είναι εντάξει, από το πρώτο σημείο μέχρι το τελευταίο. Δεν έχει πάντα νόημα. Εξάλλου, τακτοποιούμε βιβλία στη βιβλιοθήκη όχι έτσι, αλλά σε ενότητες. Μόνο μέσα στο τμήμα τακτοποιούμε γραμμικά (συνήθως αλφαβητικά).

2. Γραμμική σειρά: κατά την εκκίνηση του κινητήρα του αυτοκινήτου, εκτελούμε ενέργειες με συνεπή σειρά.

Με μεγαλύτερα έργα, ειδικά στην ομαδική εργασία, δεν έχουμε πλέον γραμμική σειρά. Ας δούμε Σύκο. 3. Θέλουμε να φτιάξουμε ένα μικρό ξενοδοχείο. Έχουμε ήδη χρήματα (κελί 0). Συντάσσουμε άδειες, συλλέγουμε υλικά, ξεκινάμε την κατασκευή και ταυτόχρονα διεξάγουμε διαφημιστική καμπάνια, αναζητούμε υπαλλήλους και ούτω καθεξής και ούτω καθεξής. Όταν φτάσουμε στο "10", οι πρώτοι επισκέπτες μπορούν να κάνουν check in (ένα παράδειγμα από τις ιστορίες του κ. Dombrowski και του μικρού τους ξενοδοχείου στα προάστια της Κρακοβίας). Εχουμε μη γραμμική σειρά – κάποια πράγματα μπορούν να συμβούν παράλληλα.

Στα οικονομικά, θα μάθετε για την έννοια της κρίσιμης διαδρομής. Αυτό είναι το σύνολο των ενεργειών που πρέπει να εκτελεστούν διαδοχικά (και αυτό ονομάζεται αλυσίδα στα μαθηματικά, περισσότερο σε μια στιγμή), και οι οποίες χρειάζονται τον περισσότερο χρόνο. Η μείωση του χρόνου κατασκευής είναι μια αναδιοργάνωση της κρίσιμης διαδρομής. Αλλά περισσότερα για αυτό σε άλλες διαλέξεις (σας θυμίζω ότι διαβάζω μια «διάλεξη στο πανεπιστήμιο»). Εστιάζουμε στα μαθηματικά.

Τα διαγράμματα όπως το σχήμα 3 ονομάζονται διαγράμματα Hasse (Helmut Hasse, Γερμανός μαθηματικός, 1898–1979). Κάθε περίπλοκη προσπάθεια πρέπει να σχεδιάζεται με αυτόν τον τρόπο. Βλέπουμε ακολουθίες ενεργειών: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Οι μαθηματικοί τα λένε χορδές. Η όλη ιδέα αποτελείται από τέσσερις αλυσίδες. Αντίθετα, οι ομάδες δραστηριότητας 1-2-3-4, 5-6-7 και 8-9 είναι αντιαλυσίδες. Να πώς λέγονται. Το γεγονός είναι ότι σε μια συγκεκριμένη ομάδα, καμία από τις ενέργειες δεν εξαρτάται από την προηγούμενη.

4. Αυτό είναι επίσης ένα διάγραμμα Hasse.

ποйδεм σχήμα 4. Τι εντυπωσιακό; Αλλά θα μπορούσε να είναι ένας χάρτης του μετρό σε κάποια πόλη! Οι υπόγειοι σιδηρόδρομοι ομαδοποιούνται πάντα σε γραμμές - δεν περνούν από το ένα στο άλλο. Οι γραμμές είναι ξεχωριστές γραμμές. Στην πόλη του Σχ. 4 είναι κλιβάνου γραμμή (θυμηθείτε ότι κλιβάνου γράφεται «boldem» - στα πολωνικά λέγεται ημί-χοντρό).

Σε αυτό το διάγραμμα (Εικ. 4) υπάρχει ένα κοντό κίτρινο ABF, ένα ACFPS έξι σταθμών, ένα πράσινο ADGL, ένα μπλε DGMRT και το μεγαλύτερο κόκκινο. Ο μαθηματικός θα πει: αυτό το διάγραμμα Hasse έχει κλιβάνου αλυσίδες. Είναι στην κόκκινη γραμμή επτά σταθμός: AEINRUW. Τι γίνεται με τις αντιαλυσίδες; Υπάρχουν αυτοί επτά. Ο αναγνώστης έχει ήδη παρατηρήσει ότι υπογράμμισα διπλά τη λέξη επτά.

Αντιαλυσίδα Αυτό είναι ένα τέτοιο σύνολο σταθμών που είναι αδύνατο να φτάσετε από τον έναν από αυτούς στον άλλο χωρίς μεταφορά. Όταν «καταλάβουμε» λίγο, θα δούμε τις εξής αντιαλυσίδες: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. Ελέγξτε, για παράδειγμα, ότι δεν είναι δυνατό να ταξιδέψετε από οποιονδήποτε από τους σταθμούς BCLTV σε άλλο BCTLV χωρίς αλλαγή, πιο συγκεκριμένα: χωρίς να χρειαστεί να επιστρέψετε στον σταθμό που φαίνεται παρακάτω. Πόσες αντιαλυσίδες υπάρχουν; Επτά. Τι μέγεθος είναι το μεγαλύτερο; Ψήνω (και πάλι με έντονη γραφή).

Μπορείτε να φανταστείτε, μαθητές, ότι η σύμπτωση αυτών των αριθμών δεν είναι τυχαία. Αυτό. Αυτό ανακαλύφθηκε και αποδείχθηκε (δηλαδή πάντα έτσι) το 1950 από τον Robert Palmer Dilworth (1914–1993, Αμερικανός μαθηματικός). Ο αριθμός των σειρών που απαιτούνται για την κάλυψη ολόκληρου του σετ είναι ίσος με το μέγεθος της μεγαλύτερης αντιαλυσίδας και αντίστροφα: ο αριθμός των αντιαλυσίδων είναι ίσος με το μήκος της μεγαλύτερης αντιαλυσίδας. Αυτό συμβαίνει πάντα σε ένα μερικώς διατεταγμένο σετ, δηλ. ένα που μπορεί να οπτικοποιηθεί. Διάγραμμα Hassego. Αυτός δεν είναι αυστηρός και σωστός ορισμός. Αυτό είναι που οι μαθηματικοί αποκαλούν «εργασιακό ορισμό». Αυτό είναι κάπως διαφορετικό από τον "εργαζόμενο ορισμό". Αυτή είναι μια υπόδειξη για το πώς να κατανοήσετε τα μερικώς διατεταγμένα σύνολα. Αυτό είναι ένα σημαντικό μέρος οποιασδήποτε εκπαίδευσης: δείτε πώς λειτουργεί.

Η αγγλική συντομογραφία είναι - αυτή η λέξη ακούγεται όμορφη στις σλαβικές γλώσσες, λίγο σαν γαϊδουράγκαθο. Σημειώστε ότι και το γαϊδουράγκαθο είναι διακλαδισμένο.

Πολύ ωραίο, αλλά ποιος το χρειάζεται; Εσείς, αγαπητοί μαθητές, το χρειάζεστε για να περάσετε τις εξετάσεις και αυτός είναι μάλλον ένας αρκετά καλός λόγος για να το μελετήσετε. Ακούω, τι ερωτήσεις; Ακούω, κύριε από κάτω από το παράθυρο. Ω, το ερώτημα είναι, θα είναι αυτό ποτέ χρήσιμο στον Κύριο στη ζωή σας; Ίσως όχι, αλλά για κάποιον πιο έξυπνο από εσάς, σίγουρα... Ίσως για ανάλυση κρίσιμης διαδρομής σε ένα σύνθετο οικονομικό έργο;

Γράφω αυτό το κείμενο στα μέσα Ιουνίου, στο Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας εκλέγεται ο πρύτανης. Έχω διαβάσει αρκετά σχόλια από χρήστες του Διαδικτύου. Υπάρχει μια εκπληκτική ποσότητα μίσους (ή «μίσους») προς τους «μορφωμένους ανθρώπους». Κάποιος έγραψε ωμά ότι οι άνθρωποι με πανεπιστημιακή μόρφωση γνωρίζουν λιγότερα από εκείνους με πανεπιστημιακή μόρφωση. Φυσικά, δεν θα μπω στη συζήτηση. Λυπάμαι που επιστρέφει η παγιωμένη άποψη στη Λαϊκή Δημοκρατία της Πολωνίας ότι όλα μπορούν να γίνουν με σφυρί και σμίλη. Επιστρέφω στα μαθηματικά.

Το θεώρημα του Dillworth έχει πολλές ενδιαφέρουσες χρήσεις. Ένα από αυτά είναι γνωστό ως θεώρημα γάμου.Σύκο. 6). 

Υπάρχει μια ομάδα γυναικών (μάλλον κοριτσιών) και μια λίγο μεγαλύτερη ομάδα ανδρών. Κάθε κορίτσι σκέφτεται κάπως έτσι: «Θα μπορούσα να παντρευτώ αυτό, για άλλο, αλλά ποτέ στη ζωή μου για ένα τρίτο». Και ούτω καθεξής, ο καθένας έχει τις δικές του προτιμήσεις. Σχεδιάζουμε ένα διάγραμμα, που οδηγεί σε καθένα από αυτά ένα βέλος από τον τύπο που δεν απορρίπτει ως υποψήφιο για το βωμό. Ε: Μπορούν τα ζευγάρια να ταιριάξουν έτσι ώστε το καθένα να βρει έναν σύζυγο που δέχεται;

Το θεώρημα του Philip Hall, λέει ότι αυτό μπορεί να γίνει - υπό προϋποθέσεις, τις οποίες δεν θα συζητήσω εδώ (τότε στην επόμενη διάλεξη, φοιτητές, παρακαλώ). Σημειώστε, ωστόσο, ότι η ανδρική ικανοποίηση δεν αναφέρεται καθόλου εδώ. Όπως ξέρετε, οι γυναίκες είναι αυτές που μας επιλέγουν και όχι το αντίστροφο, όπως μας φαίνεται (σας θυμίζω ότι είμαι συγγραφέας, όχι συγγραφέας).

Κάποια σοβαρά μαθηματικά. Πώς προκύπτει το θεώρημα του Hall από τον Dilworth; Είναι πολύ απλό. Ας δούμε ξανά το σχήμα 6. Οι αλυσίδες εκεί είναι πολύ κοντές: έχουν μήκος 2 (τρέχουν προς την κατεύθυνση). Ένα σετ ανθρωπάκια είναι αντιαλυσίδα (ακριβώς επειδή τα βέλη είναι μόνο προς τα). Έτσι, μπορείτε να καλύψετε όλη τη συλλογή με τόσες αντιαλυσίδες, όσες και άντρες. Έτσι κάθε γυναίκα θα έχει ένα βέλος. Που σημαίνει ότι μπορεί να μοιάζει με τον τύπο που παίρνει!!!

Περίμενε, ρωτάει κάποιος, αυτό είναι όλο; Είναι όλα εφαρμογή; Οι ορμόνες με κάποιο τρόπο θα συνεννοηθούν και γιατί μαθηματικά; Πρώτον, αυτή δεν είναι ολόκληρη η εφαρμογή, αλλά μόνο μία από μια μεγάλη σειρά. Ας δούμε ένα από αυτά. Έστω (Εικ. 6) δεν σημαίνει εκπροσώπους του καλύτερου φύλου, αλλά μάλλον πεζούς αγοραστές, και πρόκειται για μάρκες, για παράδειγμα, αυτοκίνητα, πλυντήρια ρούχων, προϊόντα αδυνατίσματος, προσφορές ταξιδιωτικών πρακτορείων κ.λπ. Κάθε αγοραστής έχει μάρκες που δέχεται και απορρίπτει. Μπορεί να γίνει κάτι για να πουληθεί κάτι σε όλους και πώς; Εδώ δεν τελειώνουν μόνο τα αστεία, αλλά και η γνώση του συγγραφέα του άρθρου για αυτό το θέμα. Το μόνο που ξέρω είναι ότι η ανάλυση βασίζεται σε αρκετά πολύπλοκα μαθηματικά.

Η διδασκαλία των μαθηματικών στο σχολείο είναι η διδασκαλία αλγορίθμων. Αυτό είναι ένα σημαντικό μέρος της μάθησης. Αλλά σιγά σιγά προχωράμε προς την εκμάθηση όχι τόσο μαθηματικών όσο τη μαθηματική μέθοδο. Η σημερινή διάλεξη αφορούσε ακριβώς αυτό: μιλάμε για αφηρημένες νοητικές κατασκευές, σκεφτόμαστε την καθημερινή ζωή. Μιλάμε για αλυσίδες και αντιαλυσίδες σε σετ με αντίστροφες, μεταβατικές και άλλες σχέσεις που χρησιμοποιούμε στα μοντέλα πωλητή-αγοραστή. Ο υπολογιστής θα κάνει όλους τους υπολογισμούς για εμάς. Δεν θα δημιουργήσει ακόμη μαθηματικά μοντέλα. Ακόμα κερδίζουμε με τη σκέψη μας. Τέλος πάντων, ελπίζω όσο το δυνατόν περισσότερο!