Για τη νέα σχολική χρονιά

Οι περισσότεροι αναγνώστες βρίσκονταν κάπου σε διακοπές - είτε στην όμορφη χώρα μας, είτε σε γειτονικές χώρες ή ίσως και στο εξωτερικό. Ας το εκμεταλλευτούμε όσο μας ανοίγουν τα σύνορα... Ποιο ήταν το πιο συχνό σημάδι στα μικρά και μακρινά μας ταξίδια; Αυτό είναι ένα βέλος που δείχνει προς την έξοδο από τον αυτοκινητόδρομο, τη συνέχεια του μονοπατιού του βουνού, την είσοδο του μουσείου, την είσοδο στην παραλία, και ούτω καθεξής και ούτω καθεξής. Τι ενδιαφέρον έχει όλο αυτό; Μαθηματικά, όχι και τόσο. Ας σκεφτούμε όμως: αυτό το σημάδι είναι προφανές σε όλους... εκπρόσωποι ενός πολιτισμού στον οποίο κάποτε πυροβολήθηκε η τοξοβολία. Είναι αλήθεια ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί αυτό. Δεν γνωρίζουμε κανέναν άλλο πολιτισμό. Ωστόσο, το κανονικό πεντάγωνο και η εκδοχή του σε σχήμα αστεριού, το πεντάγραμμο, είναι πιο ενδιαφέροντα μαθηματικά.

Δεν χρειαζόμαστε καμία εκπαίδευση για να βρούμε αυτά τα στοιχεία ενδιαφέροντα και ενδιαφέροντα. Αν, Reader, έχετε πιει κονιάκ πέντε αστέρων σε ένα ξενοδοχείο πέντε αστέρων στην Place des Stars στο Παρίσι, τότε ίσως… γεννηθήκατε κάτω από ένα τυχερό αστέρι. Όταν κάποιος μας ζητήσει να σχεδιάσουμε ένα αστέρι, θα σχεδιάσουμε ένα πεντάκτινο χωρίς δισταγμό και όταν ο συνομιλητής εκπλήσσεται: «Αυτό είναι σύμβολο της πρώην ΕΣΣΔ!», Μπορούμε να απαντήσουμε: Στάβλοι!».

Το πεντάγραμμο, ή πεντάκτινο αστέρι, ένα κανονικό πεντάγωνο, έχει κατακτηθεί από όλη την ανθρωπότητα. Τουλάχιστον το ένα τέταρτο των χωρών, συμπεριλαμβανομένων των ΗΠΑ και της πρώην ΕΣΣΔ, το έχουν συμπεριλάβει στα εμβλήματά τους. Ως παιδιά, μάθαμε να σχεδιάζουμε ένα πεντάκτινο αστέρι χωρίς να σηκώνουμε το μολύβι από τη σελίδα. Στην ενηλικίωση, γίνεται το αστέρι μας-οδηγός μας, αμετάβλητο, απόμακρο, σύμβολο ελπίδας και πεπρωμένου, χρησμός. Ας το δούμε από το πλάι.

Τι μας λένε τα άστρα;

Οι ιστορικοί συμφωνούν ότι μέχρι τον XNUMXο αιώνα π.Χ., η πνευματική κληρονομιά των λαών της Ευρώπης παρέμενε στη σκιά των πολιτισμών της Βαβυλώνας, της Αιγύπτου και της Φοινίκης. Και ξαφνικά ο έκτος αιώνας φέρνει μια αναγέννηση και μια τόσο ταχεία ανάπτυξη του πολιτισμού και της επιστήμης που ορισμένοι δημοσιογράφοι (για παράδειγμα, ο Daniken) ισχυρίζονται - είναι δύσκολο να πούμε αν οι ίδιοι πιστεύουν σε αυτό - ότι αυτό δεν θα ήταν δυνατό χωρίς την παρέμβαση των κρατουμένων. από το διάστημα.

Όταν πρόκειται για την Ελλάδα, η υπόθεση έχει μια λογική εξήγηση: ως αποτέλεσμα της μετανάστευσης των λαών, οι κάτοικοι της Πελοποννησιακής χερσονήσου μαθαίνουν περισσότερα για τον πολιτισμό των γειτονικών χωρών (για παράδειγμα, τα φοινικικά γράμματα διεισδύουν στην Ελλάδα και βελτιώνουν το αλφάβητο ), και οι ίδιοι αρχίζουν να αποικίζουν τη λεκάνη της Μεσογείου. Αυτές είναι πάντα πολύ ευνοϊκές συνθήκες για την ανάπτυξη της επιστήμης: ανεξαρτησία σε συνδυασμό με επαφές με τον κόσμο. Χωρίς ανεξαρτησία, καταδικάζουμε τους εαυτούς μας στη μοίρα των δημοκρατιών της μπανάνας της Κεντρικής Αμερικής· χωρίς επαφές, στη Βόρεια Κορέα.

Οι αριθμοί έχουν σημασία

Ο XNUMXος αιώνας π.Χ. ήταν ένας ιδιαίτερος αιώνας στην ιστορία της ανθρωπότητας. Χωρίς να γνωρίζουν ή ίσως να μην έχουν ακούσει ο ένας για τον άλλον, οι τρεις μεγάλοι στοχαστές δίδαξαν: Βούδας, Κομφούκιος i Πυθαγόρας. Οι δύο πρώτοι δημιούργησαν θρησκείες και φιλοσοφίες που είναι ζωντανές ακόμα και σήμερα. Ο ρόλος του τρίτου από αυτούς περιορίζεται στην ανακάλυψη της μιας ή της άλλης ιδιότητας ενός συγκεκριμένου τριγώνου;

Στο γύρισμα του 624ου και 546ου αιώνα (περ. XNUMX - περ. XNUMX π.Χ.) έζησε στη Μίλητο της σύγχρονης Μικράς Ασίας Τέτοιος. Κάποιες πηγές λένε ότι ήταν επιστήμονας, άλλες ότι ήταν πλούσιος έμπορος και άλλες τον αποκαλούν επιχειρηματία (προφανώς, σε ένα χρόνο αγόρασε όλα τα ελαιοτριβεία και μετά τα δανείστηκε για τοκογλυφική ​​πληρωμή). Κάποιοι, σύμφωνα με την τρέχουσα μόδα και το μοντέλο της επιστήμης, τον βλέπουν με τη σειρά του ως προστάτη: προφανώς, προσκάλεσε τους σοφούς, τους τάιζε και τους περιποιήθηκε και μετά είπε: «Λοιπόν, δούλεψε για τη δόξα του εγώ και όλη η επιστήμη». Ωστόσο, πολλές σοβαρές πηγές τείνουν να ισχυριστούν ότι ο Θαλής, σάρκα και οστά, δεν υπήρχε καθόλου και το όνομά του χρησίμευε μόνο ως προσωποποίηση συγκεκριμένων ιδεών. Όπως ήταν, έτσι ήταν, και μάλλον δεν θα μάθουμε ποτέ. Ο ιστορικός των μαθηματικών E. D. Smith έγραψε ότι αν δεν υπήρχε ο Θαλής, δεν θα υπήρχε ο Πυθαγόρας, και κανείς σαν τον Πυθαγόρα, και χωρίς τον Πυθαγόρα δεν θα υπήρχε ούτε ο Πλάτωνας ούτε κάποιος σαν τον Πλάτωνα. Πιο πιθανό. Ας αφήσουμε στην άκρη, ωστόσο, τι θα είχε συμβεί αν.

Ο Πυθαγόρας (περίπου 572 - περ. 497 π.Χ.) δίδαξε στον Κρότωνα της νότιας Ιταλίας, και εκεί γεννήθηκε το πνευματικό κίνημα που πήρε το όνομά του από τον Δάσκαλο: ο πυθαγορισμος. Ήταν ένα ηθικο-θρησκευτικό κίνημα και σύλλογος που βασιζόταν, όπως θα το λέγαμε σήμερα, σε μυστικά και μυστικές διδασκαλίες, θεωρώντας τη μελέτη της επιστήμης ως ένα από τα μέσα εξαγνισμού της ψυχής. Κατά τη διάρκεια της ζωής μιας ή δύο γενεών, ο Πυθαγορισμός πέρασε από τα συνηθισμένα στάδια ανάπτυξης των ιδεών: αρχική ανάπτυξη και επέκταση, κρίση και παρακμή. Οι πραγματικά υπέροχες ιδέες δεν τελειώνουν τη ζωή τους εκεί και δεν πεθαίνουν ποτέ για πάντα. Η πνευματική διδασκαλία του Πυθαγόρα (επινόησε έναν όρο που αποκαλούσε τον εαυτό του: φιλόσοφος ή φίλος της σοφίας) και των μαθητών του κυριάρχησαν σε όλη την αρχαιότητα, μετά επέστρεψαν στην Αναγέννηση (με το όνομα πανθεϊσμός) και είμαστε στην πραγματικότητα υπό την επιρροή του. σήμερα. Οι αρχές του Πυθαγορισμού είναι τόσο ριζωμένες στον πολιτισμό (τουλάχιστον στην Ευρώπη) που δύσκολα συνειδητοποιούμε ότι θα μπορούσαμε να σκεφτούμε διαφορετικά. Είμαστε έκπληκτοι όχι λιγότερο από τον Monsieur Jourdain του Μολιέρου, ο οποίος εξεπλάγη όταν έμαθε ότι μιλούσε πεζογραφία όλη του τη ζωή.

Η κύρια ιδέα του Πυθαγορισμού ήταν η πεποίθηση ότι ο κόσμος είναι οργανωμένος σύμφωνα με ένα αυστηρό σχέδιο και αρμονία και ότι η αποστολή του ανθρώπου είναι να γνωρίσει αυτήν την αρμονία. Και είναι ο προβληματισμός για την αρμονία του κόσμου που αποτελεί τη διδασκαλία του Πυθαγορισμού. Οι Πυθαγόρειοι ήταν σίγουρα και μυστικιστές και μαθηματικοί, αν και μόνο σήμερα είναι εύκολο να τους ταξινομήσουμε τόσο επιπόλαια. Άνοιξαν το δρόμο. Ξεκίνησαν τις σπουδές τους για την αρμονία του κόσμου, μελετώντας πρώτα τη μουσική, την αστρονομία, την αριθμητική κ.λπ.

Αν και η ανθρωπότητα υπέκυψε στη μαγεία «για πάντα», μόνο η Πυθαγόρεια σχολή την ανύψωσε σε έναν γενικά εφαρμοστέο νόμο. «Οι αριθμοί κάνουν την ειρήνη» – αυτό το σύνθημα ήταν το καλύτερο χαρακτηριστικό του σχολείου. Οι αριθμοί έχουν ψυχή. Το καθένα σήμαινε κάτι, το καθένα συμβόλιζε κάτι, το καθένα αντανακλούσε ένα σωματίδιο αυτής της αρμονίας του Σύμπαντος, δηλ. χώρος. Η ίδια η λέξη σημαίνει «παραγγελία, παραγγελία» (οι αναγνώστες γνωρίζουν ότι τα καλλυντικά λειαίνουν το πρόσωπο και ενισχύουν την ομορφιά).

Διαφορετικές πηγές δίνουν διαφορετικές έννοιες που έδιναν οι Πυθαγόρειοι σε κάθε αριθμό. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ο ίδιος αριθμός θα μπορούσε να συμβολίζει πολλές έννοιες. Τα πιο σημαντικά ήταν έξι (τέλειος αριθμός) i δέκα - το άθροισμα των διαδοχικών αριθμών 1 + 2 + 3 + 4, που αποτελείται από άλλους αριθμούς, ο συμβολισμός των οποίων έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα.

Έτσι, ο Πυθαγόρας δίδαξε ότι οι αριθμοί είναι η αρχή και η πηγή των πάντων, ότι -αν φαντάζεστε- «ανακατεύονται» μεταξύ τους, και βλέπουμε μόνο τα αποτελέσματα αυτού που κάνουν. Δημιουργήθηκε, ή μάλλον αναπτύχθηκε από τον Πυθαγόρα, ο μυστικισμός των αριθμών δεν έχει «καλό γράμμα» σήμερα, και ακόμη και σοβαροί συγγραφείς βλέπουν εδώ ένα μείγμα «πάθους και παραλογισμού» ή «επιστήμης, μυστικισμού και καθαρής υπερβολής». Είναι δύσκολο να καταλάβουμε πώς ο διάσημος ιστορικός Alexander Kravchuk μπορούσε να γράψει ότι ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του γέμισαν τη φιλοσοφία με οράματα, μύθους, δεισιδαιμονίες - σαν να μην καταλάβαινε τίποτα. Γιατί έτσι μοιάζει μόνο από τη σκοπιά του XNUMXου αιώνα μας. Οι Πυθαγόρειοι δεν ζόρισαν τίποτα, δημιούργησαν τις θεωρίες τους με τέλεια συνείδηση. Ίσως σε λίγους αιώνες κάποιος να γράψει ότι όλη η θεωρία της σχετικότητας ήταν επίσης παράλογη, προσχηματική και αναγκαστική. Και ο αριθμητικός συμβολισμός, που μας χώρισε από τον Πυθαγόρα για ένα τέταρτο εκατομμύριο χρόνια, διείσδυσε βαθιά στον πολιτισμό και έγινε μέρος του, όπως ελληνικοί και γερμανικοί μύθοι, μεσαιωνικά ιπποτικά έπη, ρωσικές λαϊκές ιστορίες για τον Kost ή το όραμα του Juliusz Slovak ο Σλάβος Πάπας.

Μυστηριώδης παραλογισμός

Στη γεωμετρία οι Πυθαγόρειοι έμειναν έκπληκτοι figurami podobnymi. Και ήταν στην ανάλυση του θεωρήματος του Θαλή, του βασικού νόμου των κανόνων της ομοιότητας, που συνέβη μια καταστροφή. Ανακαλύφθηκαν ασύμμετρα τμήματα και ως εκ τούτου παράλογοι αριθμοί. Επεισόδια που δεν μπορούν να μετρηθούν με κανένα γενικό μέτρο. Αριθμοί που δεν είναι αναλογίες. Και βρέθηκε σε μια από τις πιο απλές μορφές: ένα τετράγωνο.

Σήμερα, στη σχολική επιστήμη, παρακάμπτουμε αυτό το γεγονός, σχεδόν χωρίς να το παρατηρούμε. Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι √2; Τέλεια, πόσο μπορεί να είναι; Πατάμε δύο κουμπιά στην αριθμομηχανή: 1,4142 ... Λοιπόν, ξέρουμε ήδη ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του δύο. Οι οποίες? Είναι παράλογο; Ίσως επειδή χρησιμοποιούμε ένα τόσο περίεργο σημάδι, αλλά τελικά στην πραγματικότητα είναι 1,4142. Άλλωστε η αριθμομηχανή δεν λέει ψέματα.

Αν ο αναγνώστης πιστεύει ότι υπερβάλλω, τότε ... πολύ καλά. Προφανώς, τα πολωνικά σχολεία δεν είναι τόσο άσχημα όσο, για παράδειγμα, στα βρετανικά, όπου είναι όλα άμετρο κάπου ανάμεσα στα παραμύθια.

Στα πολωνικά, η λέξη "παράλογο" δεν είναι τόσο τρομακτική όσο η αντίστοιχή της σε άλλες ευρωπαϊκές γλώσσες. Οι ορθολογικοί αριθμοί υπάρχουν rational, rationnel, rational, δηλ.

Εξετάστε το σκεπτικό ότι √2 είναι ένας παράλογος αριθμός, δηλαδή, δεν είναι κανένα κλάσμα του p/q, όπου τα p και q είναι ακέραιοι. Με σύγχρονους όρους, μοιάζει με αυτό ... Ας υποθέσουμε ότι √2 = p / q και ότι αυτό το κλάσμα δεν μπορεί πλέον να συντομευτεί. Συγκεκριμένα, τόσο το p όσο και το q είναι περιττό. Ας τετραγωνίσουμε: 2q²=p². Ο αριθμός p δεν μπορεί να είναι περιττός, αφού τότε το p² θα ήταν επίσης, και η αριστερή πλευρά της ισότητας είναι πολλαπλάσιο του 2. Επομένως, το p είναι άρτιο, δηλ. p = 2r, άρα p²= 4 χρόνια². Μειώνουμε την εξίσωση 2q²= 4 χρόνια². παίρνουμε δ²= 2 χρόνια² και βλέπουμε ότι το q πρέπει επίσης να είναι άρτιο, κάτι που υποθέσαμε ότι δεν είναι έτσι. Ελήφθη αντίφαση η απόδειξη τελειώνει - μπορείτε να βρείτε αυτόν τον τύπο κάθε τόσο σε κάθε μαθηματικό βιβλίο. Αυτή η περιστασιακή απόδειξη είναι ένα αγαπημένο κόλπο των σοφιστών.

Τονίζω, ωστόσο, ότι πρόκειται για σύγχρονο συλλογισμό - οι Πυθαγόρειοι δεν είχαν τόσο ανεπτυγμένο αλγεβρικό μηχανισμό. Έψαχναν για ένα κοινό μέτρο της πλευράς ενός τετραγώνου και της διαγώνιας του, που τους οδήγησε στην ιδέα ότι δεν θα μπορούσε να υπάρχει τέτοιο κοινό μέτρο. Η υπόθεση της ύπαρξής του οδηγεί σε αντίφαση. Το σκληρό έδαφος γλίστρησε κάτω από τα πόδια μου. Όλα θα πρέπει να περιγράφονται με αριθμούς και η διαγώνιος ενός τετραγώνου, που μπορεί να το σχεδιάσει ο καθένας με ένα ραβδί στην άμμο, δεν έχει μήκος (δηλαδή είναι μετρήσιμη, γιατί δεν υπάρχουν άλλοι αριθμοί). «Η πίστη μας ήταν μάταιη», έλεγαν οι Πυθαγόρειοι. Τι να κάνω?

Έγιναν προσπάθειες να σωθούν με σεχταριστικές μεθόδους. Όποιος τολμήσει να ανακαλύψει την ύπαρξη παράλογων αριθμών θα θανατωθεί και, προφανώς, ο ίδιος ο κύριος -σε αντίθεση με την εντολή της πραότητας- εκτελεί την πρώτη πρόταση. Τότε όλα γίνονται κουρτίνα. Σύμφωνα με μια εκδοχή, οι Πυθαγόρειοι σκοτώθηκαν (κάπως σώθηκαν και χάρη σε αυτούς η όλη ιδέα δεν μεταφέρθηκε στον τάφο), σύμφωνα με μια άλλη, οι ίδιοι οι μαθητές, τόσο υπάκουοι, διώχνουν τον λατρεμένο δάσκαλο και κάπου τελειώνει τη ζωή του στην εξορία. . Η αίρεση παύει να υπάρχει.

Όλοι γνωρίζουμε τη ρήση του Ουίνστον Τσόρτσιλ: «Ποτέ στην ιστορία των ανθρώπινων συγκρούσεων δεν χρωστούσαν τόσο πολλοί άνθρωποι τόσο πολλά σε τόσο λίγους». Ήταν για τους πιλότους που υπερασπίστηκαν την Αγγλία από τα γερμανικά αεροσκάφη το 1940. Αν αντικαταστήσουμε τις «ανθρώπινες συγκρούσεις» με τις «ανθρώπινες σκέψεις», τότε το ρητό ισχύει για τους λίγους Πυθαγόρειους που δραπέτευσαν (τόσο λίγο) από το πογκρόμ στο τέλος των XNUMX. XNUMXος αιώνας π.Χ.

Έτσι «η σκέψη πέρασε αλώβητη». Τι έπεται? Έρχεται η χρυσή εποχή. Οι Έλληνες νικούν τους Πέρσες (Μαραθώνας - 490 π.Χ., Πληρωμή - 479). Η δημοκρατία δυναμώνει. Νέα κέντρα φιλοσοφικής σκέψης και νέες σχολές αναδύονται. Οι οπαδοί του Πυθαγορισμού έρχονται αντιμέτωποι με το πρόβλημα των παράλογων αριθμών. Μερικοί λένε: «Δεν θα κατανοήσουμε αυτό το μυστήριο. Μπορούμε μόνο να το σκεφτούμε και να θαυμάσουμε το Uncharted». Οι τελευταίοι είναι πιο πραγματιστές και δεν σέβονται το Μυστήριο: «Αν κάτι δεν πάει καλά με αυτές τις φιγούρες, ας τις αφήσουμε ήσυχες, μετά από 2500 περίπου χρόνια όλα θα γίνουν γνωστά. Ίσως οι αριθμοί να μην κυβερνούν τον κόσμο; Ας ξεκινήσουμε με τη γεωμετρία. Δεν είναι πλέον οι αριθμοί που έχουν σημασία, αλλά οι αναλογίες και οι αναλογίες τους.

Οι υποστηρικτές της πρώτης κατεύθυνσης είναι γνωστοί στους ιστορικούς των μαθηματικών ως ακουστικήΈζησαν λίγους αιώνες ακόμα και τέλος. Οι τελευταίοι τηλεφώνησαν στον εαυτό τους μαθηματικά (από το ελληνικό mathein = γνωρίζω, μαθαίνω). Δεν χρειάζεται να εξηγήσουμε σε κανέναν ότι αυτή η προσέγγιση κέρδισε: έζησε είκοσι πέντε αιώνες και πετυχαίνει.

Η νίκη των μαθηματικών έναντι των αυζματικών εκφράστηκε, ειδικότερα, με την εμφάνιση ενός νέου συμβόλου των Πυθαγορείων: από εδώ και πέρα ​​ήταν ένα πεντάγραμμο (pentás = πέντε, gramma = γράμμα, επιγραφή) - ένα κανονικό πεντάγωνο σε σχήμα αστέρι. Οι κλάδοι του τέμνονται εξαιρετικά αναλογικά: το σύνολο αναφέρεται πάντα στο μεγαλύτερο μέρος και το μεγαλύτερο μέρος στο μικρότερο. Τηλεφώνησε θεϊκή αναλογία, στη συνέχεια εκκοσμικεύτηκε σε χρυσός. Οι αρχαίοι Έλληνες (και πίσω από αυτούς ολόκληρος ο ευρωκεντρικός κόσμος) πίστευαν ότι αυτή η αναλογία ήταν η πιο ευχάριστη στο ανθρώπινο μάτι και τη συναντούσε σχεδόν παντού.

(Cyprian Camille Norwid, "Promethidion")

Θα ολοκληρώσω με ένα ακόμη απόσπασμα, αυτή τη φορά από το ποίημα «Φάουστ» (μετάφραση Βλάντισλαβ Αύγουστος Κοστέλσκι). Λοιπόν, το πεντάγραμμο είναι επίσης μια εικόνα των πέντε αισθήσεων και του περίφημου «πόδι του μάγου». Στο ποίημα του Γκαίτε, ο Δόκτωρ Φάουστ ήθελε να προστατευτεί από τον διάβολο σχεδιάζοντας αυτό το σύμβολο στο κατώφλι του σπιτιού του. Το έκανε επιπόλαια και έγινε αυτό:

Φάουστ

Μ επιστοφελής

Φάουστ

Και όλα αυτά αφορούν το συνηθισμένο πεντάγωνο στην αρχή της νέας σχολικής χρονιάς.