Νέα μαθηματικά μηχανής; Κομψά μοτίβα και αδυναμία

Σύμφωνα με ορισμένους ειδικούς, οι μηχανές μπορούν να εφεύρουν ή, αν θέλετε, να ανακαλύψουν εντελώς νέα μαθηματικά που εμείς οι άνθρωποι δεν έχουμε δει ή εφεύρει ποτέ. Άλλοι υποστηρίζουν ότι οι μηχανές δεν επινοούν τίποτα από μόνες τους, μπορούν μόνο να αναπαραστήσουν τύπους που γνωρίζουμε με διαφορετικό τρόπο και δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν καθόλου μαθηματικά προβλήματα.

Πρόσφατα, μια ομάδα επιστημόνων από το Ινστιτούτο Technion στο Ισραήλ και την Google παρουσίασε αυτοματοποιημένο σύστημα δημιουργίας θεωρημάτωνπου ονόμασαν τη μηχανή Ramanujan από το όνομα του μαθηματικού Srinivasi Ramanujanπου ανέπτυξε χιλιάδες καινοτόμους τύπους στη θεωρία αριθμών με ελάχιστη ή καθόλου επίσημη εκπαίδευση. Το σύστημα που αναπτύχθηκε από τους ερευνητές μετέτρεψε έναν αριθμό πρωτότυπων και σημαντικών τύπων σε καθολικές σταθερές που εμφανίζονται στα μαθηματικά. Η εργασία σχετικά με αυτό το θέμα δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Nature.

Ένας από τους τύπους που δημιουργεί η μηχανή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της τιμής μιας καθολικής σταθεράς που ονομάζεται Καταλανικός αριθμός, πιο αποτελεσματική από τη χρήση προηγουμένως γνωστών συνταγών που ανακαλύφθηκαν από τον άνθρωπο. Ωστόσο, οι επιστήμονες ισχυρίζονται ότι Το αυτοκίνητο του Ramanujan Δεν έχει σκοπό να αφαιρέσει τα μαθηματικά από τους ανθρώπους, αλλά μάλλον να προσφέρει βοήθεια στους μαθηματικούς. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι το σύστημά τους στερείται φιλοδοξίας. Όπως γράφουν, η Μηχανή «επιχειρεί να μιμηθεί τη μαθηματική διαίσθηση των μεγάλων μαθηματικών και να παρέχει ενδείξεις για περαιτέρω μαθηματικές αναζητήσεις».

Το σύστημα κάνει εικασίες για τις τιμές των καθολικών σταθερών (όπως) γραμμένες σε κομψούς τύπους που ονομάζονται συνεχόμενα κλάσματα ή συνεχόμενα κλάσματα (1). Αυτό είναι το όνομα για τον τρόπο έκφρασης ενός πραγματικού αριθμού ως κλάσματος σε ειδική μορφή ή το όριο τέτοιων κλασμάτων. Ένα συνεχιζόμενο κλάσμα μπορεί να είναι πεπερασμένο ή να έχει άπειρα πηλίκα_i/b_i; κλάσμα Α_k/B_k που προκύπτει με την απόρριψη μερικών πηλίκων σε ένα συνεχές κλάσμα, ξεκινώντας από το (k + 1)ο, ονομάζεται kth αναγωγή και μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:_-1=1,Α₀=b₀, Β_-1=0.V₀=1, Α_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, Β_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; Εάν η ακολουθία των αναγωγών συγκλίνει σε ένα πεπερασμένο όριο, τότε το συνεχιζόμενο κλάσμα ονομάζεται συγκλίνον, διαφορετικά είναι αποκλίνον. Ένα συνεχιζόμενο κλάσμα ονομάζεται αριθμητικό αν_i=1, σελ₀ ολοκληρώθηκε, β_i (i>0) – φυσικό; Το αριθμητικό συνεχές κλάσμα συγκλίνει. κάθε πραγματικός αριθμός επεκτείνεται σε ένα συνεχόμενο αριθμητικό κλάσμα, το οποίο είναι πεπερασμένο μόνο για τους ρητούς αριθμούς.

1. Ένα παράδειγμα γραφής του Pi ως συνεχιζόμενου κλάσματος

Αλγόριθμος της μηχανής Ramanujan επιλέγει οποιεσδήποτε καθολικές σταθερές για την αριστερή πλευρά και τυχόν συνεχόμενα κλάσματα για τη δεξιά πλευρά, και στη συνέχεια υπολογίζει κάθε πλευρά χωριστά με κάποια ακρίβεια. Εάν και οι δύο πλευρές φαίνεται να επικαλύπτονται, οι ποσότητες υπολογίζονται με μεγαλύτερη ακρίβεια για να διασφαλιστεί ότι το ταίριασμα δεν είναι σύμπτωση ή ανακρίβεια. Αυτό που είναι σημαντικό είναι ότι υπάρχουν ήδη τύποι που σας επιτρέπουν να υπολογίζετε την τιμή των καθολικών σταθερών, για παράδειγμα, με οποιαδήποτε ακρίβεια, επομένως το μόνο εμπόδιο στον έλεγχο της αντιστοιχίας των σελίδων είναι ο χρόνος υπολογισμού.

Πριν από την εφαρμογή τέτοιων αλγορίθμων, οι μαθηματικοί έπρεπε να χρησιμοποιήσουν έναν υπάρχοντα. μαθηματικές γνώσεις i θεωρήματακάντε μια τέτοια υπόθεση. Χάρη στις αυτόματες εικασίες που δημιουργούνται από αλγόριθμους, οι μαθηματικοί μπορούν να τις χρησιμοποιήσουν για να ανακατασκευάσουν κρυφά θεωρήματα ή πιο «κομψά» αποτελέσματα.

Η πιο αξιοσημείωτη ανακάλυψη των ερευνητών δεν είναι τόσο νέα γνώση όσο είναι μια νέα υπόθεση εκπληκτικής σημασίας. Αυτό επιτρέπει υπολογισμός της καταλανικής σταθεράς, μια καθολική σταθερά της οποίας η τιμή χρειάζεται σε πολλά μαθηματικά προβλήματα. Η έκφρασή του ως συνεχόμενου κλάσματος υπό μια υπόθεση που ανακαλύφθηκε πρόσφατα επιτρέπει τους ταχύτερους υπολογισμούς μέχρι σήμερα, νικώντας παλαιότερους τύπους που απαιτούσαν περισσότερο χρόνο επεξεργασίας στον υπολογιστή. Αυτό φαίνεται να σηματοδοτεί ένα νέο σημείο προόδου για την επιστήμη των υπολογιστών, σε σύγκριση με την εποχή που οι υπολογιστές κέρδισαν για πρώτη φορά τους σκακιστές.

Τι δεν μπορεί να χειριστεί το AI

Αλγόριθμοι μηχανών Όπως μπορείτε να δείτε, χειρίζονται ορισμένα πράγματα με καινοτόμο και αποτελεσματικό τρόπο. Αντιμέτωποι με άλλα προβλήματα, είναι αβοήθητοι. Μια ομάδα ερευνητών από το Πανεπιστήμιο του Waterloo στον Καναδά ανακάλυψε μια κατηγορία προβλημάτων κατά τη χρήση μηχανική μάθηση. Η ανακάλυψη συνδέεται με ένα παράδοξο που περιέγραψε στα μέσα του περασμένου αιώνα ο Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel.

Ο μαθηματικός Shai Ben-David και η ομάδα του παρουσίασαν ένα μοντέλο μηχανικής μάθησης που ονομάζεται μέγιστη πρόβλεψη (EMX) σε μια δημοσίευση στο περιοδικό Nature. Ένα φαινομενικά απλό έργο αποδείχθηκε αδύνατο για την τεχνητή νοημοσύνη. Πρόβλημα που δημιουργεί η ομάδα Shai Ben-David καταλήγει στην πρόβλεψη της πιο κερδοφόρας διαφημιστικής καμπάνιας που απευθύνεται στους αναγνώστες που επισκέπτονται συχνότερα τον ιστότοπο. Ο αριθμός των δυνατοτήτων είναι τόσο μεγάλος που ένα νευρωνικό δίκτυο δεν μπορεί να βρει μια συνάρτηση που θα προβλέψει σωστά τη συμπεριφορά των χρηστών του ιστότοπου, έχοντας στη διάθεσή του μόνο ένα μικρό δείγμα δεδομένων.

Αποδεικνύεται ότι ορισμένα από τα προβλήματα που δημιουργούνται από τα νευρωνικά δίκτυα είναι ισοδύναμα με την υπόθεση του συνεχούς που θέτει ο Georg Cantor. Ο Γερμανός μαθηματικός απέδειξε ότι η ισχύς του συνόλου των φυσικών αριθμών είναι μικρότερη από τη δύναμη του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Μετά έκανε μια ερώτηση που δεν μπορούσε να απαντήσει. Δηλαδή, αναρωτήθηκε μήπως υπάρχει ένα άπειρο σύνολο του οποίου η καρδινάτητα είναι μικρότερη από την καρδιναλότητα σύνολο πραγματικών αριθμώναλλά περισσότερη δύναμη σύνολο φυσικών αριθμών.

Αυστριακός μαθηματικός του XNUMXου αιώνα. Kurt Gödel απέδειξε ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να αποφασιστεί στο τρέχον μαθηματικό σύστημα. Τώρα αποδεικνύεται ότι οι μαθηματικοί που σχεδιάζουν νευρωνικά δίκτυα αντιμετωπίζουν ένα παρόμοιο πρόβλημα.

Έτσι, αν και αόρατο για εμάς, όπως βλέπουμε, είναι αβοήθητο μπροστά σε θεμελιώδεις περιορισμούς. Οι επιστήμονες αναρωτιούνται εάν με προβλήματα αυτής της κατηγορίας, όπως άπειρα σύνολα, για παράδειγμα.