Γιατί δεν διαιρούμε με το μηδέν;

Οι αναγνώστες μπορεί να αναρωτηθούν γιατί αφιερώνω ένα ολόκληρο άρθρο σε ένα τόσο κοινότοπο θέμα; Ο λόγος είναι ο ιλιγγιώδης αριθμός μαθητών (!) που πραγματοποιούν επιπόλαια την επιχείρηση με το όνομα. Και όχι μόνο φοιτητές. Μερικές φορές πιάνω και δασκάλους. Τι θα μπορούν να κάνουν οι μαθητές τέτοιων δασκάλων στα μαθηματικά; Ο άμεσος λόγος για τη σύνταξη αυτού του κειμένου ήταν μια συζήτηση με έναν δάσκαλο για τον οποίο η διαίρεση με το μηδέν δεν ήταν πρόβλημα ...

Με το μηδέν, ναι, εκτός από την ταλαιπωρία του τίποτα, γιατί δεν χρειάζεται πραγματικά να το χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή. Δεν πάμε για ψώνια για μηδέν αυγά. Το "Υπάρχει ένα άτομο στο δωμάτιο" ακούγεται κάπως φυσικό και το "μηδέν άνθρωποι" ακούγεται τεχνητό. Οι γλωσσολόγοι λένε ότι το μηδέν είναι έξω από το γλωσσικό σύστημα.

Μπορούμε να κάνουμε χωρίς το μηδέν και στους τραπεζικούς λογαριασμούς: απλώς χρησιμοποιήστε - όπως σε ένα θερμόμετρο - κόκκινο και μπλε για θετικές και αρνητικές τιμές (σημειώστε ότι για τη θερμοκρασία είναι φυσικό να χρησιμοποιείται κόκκινο για θετικούς αριθμούς και για τραπεζικούς λογαριασμούς είναι το αντίστροφο, επειδή η χρέωση θα πρέπει να ενεργοποιήσει μια προειδοποίηση, επομένως το κόκκινο συνιστάται ιδιαίτερα).

Συμπεριλαμβάνοντας το μηδέν ως φυσικό αριθμό, αγγίζουμε το πρόβλημα της διαφοροποίησης Βασικοί αριθμοί od νοικοκυριό. Εντός 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

η ισχύς του αριθμού είναι ίδια με τον αριθμό του τόπου όπου βρίσκεται. Διαφορετικά, βρίσκεται ήδη στην ακολουθία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Ο αριθμός των σετ singleton έρχεται δεύτερος, ο αριθμός των σετ με δύο στοιχεία έρχεται τρίτος και ούτω καθεξής. Πρέπει να εξηγήσουμε γιατί, για παράδειγμα, δεν αριθμούμε τις θέσεις των αθλητών στους αγώνες από την αρχή. Στη συνέχεια, ο νικητής της πρώτης θέσης θα έπαιρνε ένα ασημένιο μετάλλιο (το χρυσό πήγε στον νικητή της μηδενικής θέσης) και ούτω καθεξής. Μια κάπως παρόμοια διαδικασία χρησιμοποιήθηκε στο ποδόσφαιρο - δεν ξέρω αν οι αναγνώστες γνωρίζουν ότι "πρωτάθλημα ένα" σημαίνει " ακολουθώντας τους καλύτερους». », και το zero league καλείται να γίνει το «major league».

Μερικές φορές ακούμε το επιχείρημα ότι πρέπει να ξεκινήσουμε από το μηδέν, επειδή είναι βολικό για τους ανθρώπους της πληροφορικής. Συνεχίζοντας αυτές τις σκέψεις, ο ορισμός του χιλιομέτρου θα πρέπει να αλλάξει - θα πρέπει να είναι 1024 m, επειδή αυτός είναι ο αριθμός των byte σε ένα kilobyte (θα αναφερθώ σε ένα αστείο που είναι γνωστό στους επιστήμονες υπολογιστών: "Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός πρωτοετής και ένας φοιτητής πληροφορικής και ένας πέμπτος φοιτητής αυτής της σχολής; ότι ένα kilobyte είναι 1000 kilobyte, το τελευταίο - ότι ένα χιλιόμετρο είναι 1024 μέτρα")!

Μια άλλη άποψη, που πρέπει ήδη να ληφθεί σοβαρά υπόψη, είναι η εξής: μετράμε πάντα από το μηδέν! Αρκεί να κοιτάξεις οποιαδήποτε ζυγαριά στο χάρακα, στην οικιακή ζυγαριά, ακόμα και στο ρολόι. Εφόσον μετράμε από το μηδέν και η μέτρηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως μέτρηση με μονάδα αδιάστατης, τότε θα πρέπει να μετρήσουμε από το μηδέν.

Είναι απλό το θέμα, αλλά...

Ας αφήσουμε το γενικό σκεπτικό και ας επιστρέψουμε στη διαίρεση με το μηδέν. Το θέμα είναι απλό και θα ήταν απλό αν δεν υπήρχε ... και τι; Ας σκεφτούμε και ας προσπαθήσουμε. Πόσο μπορεί να είναι - ένα διαιρούμενο με το μηδέν; Ας δούμε: 1/0 = x. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με τον παρονομαστή της αριστερής πλευράς.

Παίρνουμε 1=0. Μήπως κάτι δεν πάει καλά! Τι συνέβη? Αχ μαντέψτε! Η υπόθεση ότι υπάρχει πηλίκο μονάδας και μηδέν οδηγεί σε αντίφαση. Και αν ένα δεν μπορεί να διαιρεθεί με το μηδέν, τότε ένας άλλος αριθμός μπορεί. Αν, Αναγνώστη, σηκώσεις τους ώμους σου και αναρωτιέσαι γιατί ο συγγραφέας (δηλαδή εγώ) γράφει για τέτοιες κοινοτοπίες, τότε ... χαίρομαι πολύ!

Ο τύπος 0/0 = 0 θα μπορούσε να υπερασπιστεί επίμονα, αλλά έρχεται σε αντίθεση με τον κανόνα ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός αριθμού από μόνος του είναι ίσο με ένα. Απόλυτα, αλλά αρκετά διαφορετικά είναι σύμβολα όπως 0/0, °/° και παρόμοια στον λογισμό. Δεν σημαίνουν κανέναν αριθμό, αλλά είναι συμβολικοί προσδιορισμοί για συγκεκριμένες ακολουθίες ορισμένων τύπων.

Σε ένα βιβλίο ηλεκτρολόγων μηχανικών, βρήκα μια ενδιαφέρουσα σύγκριση: η διαίρεση με το μηδέν είναι εξίσου επικίνδυνη με την ηλεκτρική ενέργεια υψηλής τάσης. Αυτό είναι φυσιολογικό: ο νόμος του Ohm δηλώνει ότι η αναλογία τάσης προς αντίσταση είναι ίση με το ρεύμα: V = U / R. Εάν η αντίσταση ήταν μηδέν, ένα θεωρητικά άπειρο ρεύμα θα έρεε μέσω του αγωγού, καίγοντας όλους τους πιθανούς αγωγούς.

Κάποτε έγραψα ένα ποίημα για τους κινδύνους της διαίρεσης με το μηδέν για κάθε μέρα της εβδομάδας. Θυμάμαι ότι η πιο δραματική μέρα ήταν η Πέμπτη, αλλά είναι κρίμα για όλη μου τη δουλειά σε αυτόν τον τομέα.

Όταν διαιρείς κάτι με το μηδέν

Πολύ νωρίς τη Δευτέρα

Εβδομάδα αυτό που μόλις συνέβη

Έχεις ήδη αποτύχει παταγωδώς.

Όταν το απόγευμα της Τρίτης

Βάζεις μηδέν στον παρονομαστή

Θα σου πω τότε, κάνεις λάθος

Κακός μαθηματικός!

Όταν μέσα από το μηδέν, μέσα από τη διαστροφή,

Θέλεις να χωρίσουμε την Τετάρτη

Θα μπεις σε πολλά προβλήματα

Έχεις σανό και νερό στο κεφάλι σου!

Κάποιος Μπάρτεκ ήταν μαζί μας.

Ήταν σε αντίθεση με τους κανόνες.

Την Πέμπτη διαιρείται με το μηδέν.

Δεν είναι πια ανάμεσά μας!

Αν σε πιάσει μια παράξενη επιθυμία

Διαιρέστε με το μηδέν την Παρασκευή

Θα είμαι ειλικρινής, θα είμαι ειλικρινής:

Κακό ξεκίνημα για αυτό το Σαββατοκύριακο.

Όταν είναι μηδέν, κάπου το Σάββατο

Το διαχωριστικό θα είναι δικό σας (όχι τολμηρό)

Γονατίστε κάτω από τον φράκτη της εκκλησίας.

Αυτή είναι η ανάστασή σου.

Θέλετε μηδέν κάτω από την παύλα,

Κάντε διακοπές την Κυριακή

Φέρτε κιμωλία, μαύρο πίνακα.

Γράψε: δεν διαιρείται με το μηδέν!

Το μηδέν συνδέεται με το κενό και το τίποτα. Πράγματι, ήρθε στα μαθηματικά ως μια ποσότητα που, όταν προστεθεί σε καμία, δεν την αλλάζει: x + 0 = x. Αλλά τώρα το μηδέν εμφανίζεται σε πολλές άλλες τιμές, κυρίως ως έναρξη κλίμακας. Εάν έξω από το παράθυρο δεν υπάρχει ούτε θετική θερμοκρασία ούτε παγετός, τότε ... αυτό είναι μηδέν, πράγμα που δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει καθόλου θερμοκρασία. Ένα μνημείο μηδενικής τάξης δεν είναι αυτό που έχει κατεδαφιστεί εδώ και καιρό και απλά δεν υπάρχει. Αντίθετα, είναι κάτι σαν το Wawel, τον Πύργο του Άιφελ και το Άγαλμα της Ελευθερίας.

Λοιπόν, η σημασία του μηδενός σε ένα σύστημα θέσεων δύσκολα μπορεί να υπερεκτιμηθεί. Ξέρεις, αναγνώστη, πόσα μηδενικά έχει ο Μπιλ Γκέιτς στον τραπεζικό του λογαριασμό; Δεν ξέρω, αλλά θα ήθελα το μισό. Προφανώς, ο Ναπολέων Βοναπάρτης παρατήρησε ότι οι άνθρωποι είναι σαν τα μηδενικά: αποκτούν νόημα μέσω της θέσης. Στην ταινία του Andrzej Wajda As the Years, As the Days Go by, ο παθιασμένος καλλιτέχνης Jerzy εκρήγνυται: «The Philistine is zero, nihil, τίποτα, τίποτα, nihil, zero». Αλλά το μηδέν μπορεί να είναι καλό: «μηδενική απόκλιση από τον κανόνα» σημαίνει ότι όλα πάνε καλά και συνεχίστε έτσι!

Ας επιστρέψουμε στα μαθηματικά. Το μηδέν μπορεί να προστεθεί, να αφαιρεθεί και να πολλαπλασιαστεί ατιμώρητα. «Πήρα μηδέν κιλά», λέει η Manya στην Anya. «Και αυτό είναι ενδιαφέρον, γιατί έχασα το ίδιο βάρος», απαντά η Anya. Ας φάμε λοιπόν έξι μηδενικές μερίδες παγωτό έξι φορές, δεν θα μας κάνει κακό.

Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν. Ένα πιάτο με zero dumplings μπορεί να μοιραστεί εύκολα σε όσους περιμένουν φαγητό. Πόσα θα πάρει ο καθένας;

Το μηδέν δεν είναι θετικό ή αρνητικό. Αυτό και ο αριθμός μη θετικόи μη αρνητικό. Ικανοποιεί τις ανισώσεις x≥0 και x≤0. Η αντίφαση «κάτι θετικό» δεν είναι «κάτι αρνητικό», αλλά «κάτι αρνητικό ή ίσο με μηδέν». Οι μαθηματικοί, αντίθετα με τους κανόνες της γλώσσας, θα λένε πάντα ότι κάτι είναι «ίσο με μηδέν» και όχι «μηδέν». Για να δικαιολογήσουμε αυτή την πρακτική, έχουμε: αν διαβάσουμε τον τύπο x = 0 "x είναι μηδέν", τότε x = 1 διαβάζουμε "x είναι ίσο με ένα", το οποίο θα μπορούσε να καταποθεί, αλλά τι γίνεται με το "x = 1534267"; Επίσης, δεν μπορείτε να εκχωρήσετε μια αριθμητική τιμή στον χαρακτήρα 0⁰ούτε να αυξήσετε το μηδέν σε αρνητική ισχύ. Από την άλλη, μπορείς να κάνεις root το zero κατά βούληση... και το αποτέλεσμα θα είναι πάντα μηδέν. 

Εκθετική συνάρτηση y = a^x, η θετική βάση του a, δεν γίνεται ποτέ μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι δεν υπάρχει μηδενικός λογάριθμος. Πράγματι, ο λογάριθμος του a στη βάση b είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο λογάριθμος του a. Για a = 0, δεν υπάρχει τέτοιος δείκτης και το μηδέν δεν μπορεί να είναι η βάση του λογαρίθμου. Ωστόσο, το μηδέν στον «παρονομαστή» του συμβόλου του Νεύτωνα είναι το κάτι άλλο. Υποθέτουμε ότι αυτές οι συμβάσεις δεν οδηγούν σε αντίφαση.

ψευδείς αποδείξεις

Η διαίρεση με το μηδέν είναι ένα κοινό θέμα για ψευδείς αποδείξεις, και συμβαίνει ακόμη και σε έμπειρους μαθηματικούς. Επιτρέψτε μου να σας δώσω δύο από τα αγαπημένα μου παραδείγματα. Το πρώτο είναι αλγεβρικό. Θα «αποδείξω» ότι όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο αριθμοί που δεν είναι ίσοι. Επομένως, το ένα από αυτά είναι μεγαλύτερο από το άλλο, έστω a > b. Ας υποθέσουμε ότι το c είναι η διαφορά τους

γ \uXNUMXd α - β. Άρα έχουμε a - b = c, από όπου a = b + c.

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη του τελευταίου με a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Μεταφράζω το ak στην αριστερή πλευρά, φυσικά θυμάμαι την αλλαγή της πινακίδας:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Αποκλείω κοινούς παράγοντες:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Μοιράζομαι και έχω αυτό που ήθελα:

α = β.

Και στην πραγματικότητα ακόμα πιο περίεργο, γιατί υπέθεσα ότι a > b, και κατάλαβα ότι a = b. Εάν στο παραπάνω παράδειγμα η "εξαπάτηση" είναι εύκολο να αναγνωριστεί, τότε στη γεωμετρική απόδειξη παρακάτω δεν είναι τόσο εύκολο. Θα αποδείξω ότι ... το τραπεζοειδές δεν υπάρχει. Το σχήμα που συνήθως ονομάζεται τραπεζοειδές δεν υπάρχει.

Αλλά ας υποθέσουμε πρώτα ότι υπάρχει κάτι όπως τραπεζοειδές (ABCD στο παρακάτω σχήμα). Έχει δύο παράλληλες πλευρές («βάσεις»). Ας τεντώσουμε αυτές τις βάσεις, όπως φαίνεται στην εικόνα, ώστε να πάρουμε ένα παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι του χωρίζουν την άλλη διαγώνιο του τραπεζοειδούς σε τμήματα των οποίων τα μήκη συμβολίζονται x, y, z, όπως στο σχήμα 1. Από την ομοιότητα των αντίστοιχων τριγώνων, παίρνουμε τις αναλογίες:

όπου ορίζουμε:

Όραζ

όπου ορίζουμε:

Αφαιρέστε τις πλευρές της ισότητας που σημειώνονται με αστερίσκους:

 Συντομεύοντας και τις δύο πλευρές κατά x − z, παίρνουμε - a / b = 1, που σημαίνει a + b = 0. Αλλά οι αριθμοί a, b είναι τα μήκη των βάσεων του τραπεζοειδούς. Αν το άθροισμά τους είναι μηδέν, τότε είναι επίσης μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι μια φιγούρα σαν τραπεζοειδές δεν μπορεί να υπάρξει! Και αφού τα ορθογώνια, οι ρόμβοι και τα τετράγωνα είναι επίσης τραπεζοειδή, τότε, αγαπητέ αναγνώστη, δεν υπάρχουν ούτε ρόμβοι, ορθογώνια και τετράγωνα…

Σαν αυτό

Η ανταλλαγή πληροφοριών είναι η πιο ενδιαφέρουσα και προκλητική από τις τέσσερις βασικές δραστηριότητες. Εδώ, για πρώτη φορά, συναντάμε ένα φαινόμενο τόσο συνηθισμένο στην ενήλικη ζωή: «μαντέψτε την απάντηση και μετά ελέγξτε αν μαντέψατε σωστά». Αυτό εκφράζεται πολύ εύστοχα από τον Daniel K. Dennett (“How to Make Mistakes?”, στο How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Βαρσοβία, 1997):

Αυτή η μέθοδος «μαντείας» δεν παρεμβαίνει στην ενήλικη ζωή μας – ίσως γιατί τη μαθαίνουμε νωρίς και η εικασία δεν είναι δύσκολη. Ιδεολογικά, το ίδιο φαινόμενο συμβαίνει, για παράδειγμα, στη μαθηματική (πλήρη) επαγωγή. Στο ίδιο σημείο, «μαντεύουμε» τον τύπο και μετά ελέγχουμε αν η εικασία μας είναι σωστή. Οι μαθητές πάντα ρωτούν: «Πώς ξέραμε το μοτίβο; Πώς μπορεί να βγει;» Όταν οι μαθητές μου κάνουν αυτή την ερώτηση, μετατρέπω την ερώτησή τους σε αστείο: «Το ξέρω γιατί είμαι επαγγελματίας, γιατί πληρώνομαι για να ξέρω». Οι μαθητές στο σχολείο μπορούν να απαντηθούν με το ίδιο στυλ, μόνο πιο σοβαρά.

Άσκηση. Σημειώστε ότι ξεκινάμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό γραφής με τη χαμηλότερη μονάδα και τη διαίρεση με την υψηλότερη μονάδα.

Συνδυασμός δύο ιδεών

Οι δάσκαλοι μαθηματικών ανέκαθεν επεσήμαναν ότι αυτό που ονομάζουμε διαχωρισμό ενηλίκων είναι η ένωση δύο εννοιολογικά διαφορετικών ιδεών: Корпус i διαχωρισμός.

Η πρώτη (Корпус) εμφανίζεται σε εργασίες όπου το αρχέτυπο είναι:

Διαίρει-διαίρει Πρόκειται για εργασίες όπως:

? (Διατηρούμε το αρχικό ύφος αυτού του προβλήματος, το οποίο λαμβάνεται από το εγχειρίδιο του Julian Zgozalewicz, που δημοσιεύτηκε στην Κρακοβία το 1892 - το złoty είναι το Ρηνικό ζλότι, το νόμισμα που κυκλοφορούσε στην Αυστροουγγρική Αυτοκρατορία μέχρι τις αρχές του XNUMXου αιώνα) .

Τώρα εξετάστε δύο προβλήματα με το παλαιότερο εγχειρίδιο μαθηματικών στα πολωνικά, πατέρας Tomasz Clos (1538). Είναι τμήμα ή κουπέ; Λύστε το με τον τρόπο που θα έπρεπε οι μαθητές του XNUMXου αιώνα:

(Μετάφραση από πολωνικά προς πολωνικά: Υπάρχει ένα τέταρτο και τέσσερα δοχεία σε ένα βαρέλι. Ένα δοχείο είναι τέσσερα λίτρα. Κάποιος αγόρασε 20 βαρέλια κρασί για 50 zł για εμπόριο. Ο φόρος και ο φόρος (ειδικός φόρος κατανάλωσης;) θα είναι 8 zł. Πόσο πουλήστε ένα τετάρτο για να κερδίσετε 8 zł;)

Αθλητισμός, φυσική, συνάφεια

Μερικές φορές στα αθλήματα πρέπει να διαιρέσετε κάτι με το μηδέν (αναλογία γκολ). Λοιπόν, οι δικαστές με κάποιο τρόπο το αντιμετωπίζουν. Ωστόσο, στην αφηρημένη άλγεβρα είναι στην ημερήσια διάταξη. μη μηδενικές ποσότητεςτου οποίου το τετράγωνο είναι μηδέν. Μπορεί ακόμη και να εξηγηθεί απλά.

Θεωρήστε μια συνάρτηση F που συσχετίζει ένα σημείο (y, 0) με ένα σημείο στο επίπεδο (x, y). Τι είναι το F², δηλαδή διπλή εκτέλεση του F? Συνάρτηση μηδέν - κάθε σημείο έχει μια εικόνα (0,0).

Τέλος, μη μηδενικές ποσότητες των οποίων το τετράγωνο είναι 0 είναι σχεδόν καθημερινό ψωμί για τους φυσικούς και αριθμοί της μορφής a + bε, όπου ε ≠ 0, αλλά ε² = 0, καλούν οι μαθηματικοί διπλούς αριθμούς. Εμφανίζονται στη μαθηματική ανάλυση και στη διαφορική γεωμετρία.

Άλλωστε, υπάρχει κάτι στην αριθμητική που έχει διαίρεση με το μηδέν τουλάχιστον στο όνομα. Ερχεται από μαθηματική αναλογία. Έστω Z συμβολίζει το σύνολο των ακεραίων. Η διαίρεση του συνόλου Z με το p σημαίνει ότι εξισώνουμε κάθε αριθμό (ακέραιος) με κάποιους άλλους, δηλαδή με αυτούς με τους οποίους η διαφορά τους διαιρείται. Έτσι, όταν έχουμε πέντε τύπους αριθμών που αντιστοιχούν στους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4 - τα πιθανά υπόλοιπα όταν διαιρούνται με το 5. Ο τύπος γράφεται ως εξής:

mod όταν η διαφορά είναι πολλαπλάσιο.

Για = 2, έχουμε μόνο δύο αριθμούς: 0 και 1. Η διαίρεση ακεραίων σε δύο τέτοιες κλάσεις ισοδυναμεί με τη διαίρεση τους σε άρτιους και περιττούς. Ας το αντικαταστήσουμε τώρα. Η διαφορά διαιρείται πάντα με το 1 (οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός διαιρείται με 1). Είναι δυνατόν να πάρουμε =0; Ας προσπαθήσουμε: πότε η διαφορά δύο αριθμών είναι πολλαπλάσιο του μηδενός; Μόνο όταν αυτοί οι δύο αριθμοί είναι ίσοι. Επομένως, η διαίρεση ενός συνόλου ακεραίων με το μηδέν έχει νόημα, αλλά δεν είναι ενδιαφέρον: τίποτα δεν συμβαίνει. Ωστόσο, πρέπει να τονιστεί ότι δεν πρόκειται για διαίρεση αριθμών με την έννοια που είναι γνωστή από το δημοτικό.

Τέτοιες ενέργειες είναι απλά απαγορευμένες, όπως και τα μεγάλα και μεγάλα μαθηματικά.

Ρύζι. 2. Αναγνώριση αριθμών με χρήση σύγκρισης

(δέντρο 5 και δέντρο 2)