Ταξίδι στον εξωπραγματικό κόσμο των μαθηματικών

Έγραψα αυτό το άρθρο σε ένα από τα περιβάλλοντα, μετά από διάλεξη και εξάσκηση σε ένα κολέγιο επιστήμης υπολογιστών. Αμύνομαι ενάντια στην κριτική των μαθητών αυτού του σχολείου, τις γνώσεις τους, τη στάση τους απέναντι στην επιστήμη και, κυρίως, τις διδακτικές τους δεξιότητες. Αυτό... δεν τους το διδάσκει κανείς.

Γιατί είμαι τόσο αμυντικός; Για έναν απλό λόγο - βρίσκομαι σε μια ηλικία που, μάλλον, ο κόσμος γύρω μας δεν είναι ακόμα κατανοητός. Ίσως τους διδάσκω να αρματώνουν και να αποδεσμεύουν άλογα και όχι να οδηγούν αυτοκίνητο; Ίσως τους μάθω να γράφουν με ένα στυλό; Αν και έχω καλύτερη γνώμη για ένα άτομο, θεωρώ ότι «ακολουθώ», αλλά…

Μέχρι πρόσφατα, στο Λύκειο, μιλούσαν για μιγαδικούς αριθμούς. Και ήταν αυτή την Τετάρτη που γύρισα σπίτι, τα παράτησα - σχεδόν κανένας από τους μαθητές δεν έχει μάθει ακόμη τι είναι και πώς να χρησιμοποιεί αυτούς τους αριθμούς. Κάποιοι βλέπουν όλα τα μαθηματικά σαν χήνα σε βαμμένη πόρτα. Αλλά εξεπλάγην επίσης πραγματικά όταν μου είπαν πώς να μάθω. Με απλά λόγια, κάθε ώρα μιας διάλεξης είναι δύο ώρες εργασίας για το σπίτι: ανάγνωση ενός σχολικού βιβλίου, εκμάθηση πώς να λύνεις προβλήματα σε ένα δεδομένο θέμα κ.λπ. Έχοντας προετοιμαστεί με αυτόν τον τρόπο, φτάνουμε στις ασκήσεις, όπου βελτιώνουμε τα πάντα ... Ευχάριστα, οι μαθητές, προφανώς, σκέφτηκαν ότι το να κάθονται στη διάλεξη - συνήθως κοιτάζοντας έξω από το παράθυρο - εγγυάται ήδη την είσοδο της γνώσης στο κεφάλι.

Να σταματήσει! Αρκετά με αυτό. Θα περιγράψω την απάντησή μου σε μια ερώτηση που έλαβα κατά τη διάρκεια ενός μαθήματος με υποτρόφους του Εθνικού Ταμείου Παιδιών, ενός ιδρύματος που υποστηρίζει ταλαντούχα παιδιά από όλη τη χώρα. Το ερώτημα (ή μάλλον η πρόταση) ήταν:

— Θα μπορούσατε να μας πείτε κάτι για τους μη πραγματικούς αριθμούς;

«Φυσικά», απάντησα. 

Η πραγματικότητα των αριθμών

«Ένας φίλος είναι ο άλλος εγώ, η φιλία είναι η αναλογία των αριθμών 220 και 284», είπε ο Πυθαγόρας. Το θέμα εδώ είναι ότι το άθροισμα των διαιρετών του αριθμού 220 είναι 284 και το άθροισμα των διαιρετών του αριθμού 284 είναι 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Μια άλλη ενδιαφέρουσα σύμπτωση μεταξύ των αριθμών 220 και 284 είναι η εξής: οι δεκαεπτά υψηλότεροι πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, και 59.

Το άθροισμά τους είναι 2x220 και το άθροισμα των τετραγώνων είναι 59x284.

Πρώτα. Δεν υπάρχει η έννοια του «πραγματικού αριθμού». Είναι σαν να διαβάζεις ένα άρθρο για ελέφαντες, να ρωτάς: «Τώρα θα ζητήσουμε μη ελέφαντες». Υπάρχουν ολόκληρα και μη ολόκληρα, λογικά και παράλογα, αλλά δεν υπάρχουν εξωπραγματικά. ΕΙΔΙΚΑ: οι αριθμοί που δεν είναι πραγματικοί δεν ονομάζονται άκυροι. Υπάρχουν πολλά είδη «αριθμών» στα μαθηματικά και διαφέρουν μεταξύ τους, όπως -για να πάρουμε μια ζωολογική σύγκριση- ένας ελέφαντας και ένας γαιοσκώληκας.

Δεύτερον, θα εκτελέσουμε πράξεις που ίσως γνωρίζετε ήδη ότι απαγορεύονται: εξαγωγή των τετραγωνικών ριζών αρνητικών αριθμών. Λοιπόν, τα μαθηματικά θα ξεπεράσουν τέτοια εμπόδια. Έχει νόημα όμως; Στα μαθηματικά, όπως και σε κάθε άλλη επιστήμη, το αν μια θεωρία μπαίνει για πάντα στο αποθετήριο της γνώσης εξαρτάται ... από την εφαρμογή της. Αν είναι άχρηστο, τότε καταλήγει στα σκουπίδια, μετά σε κάποια σκουπίδια της ιστορίας της γνώσης. Χωρίς τους αριθμούς για τους οποίους μιλάω στο τέλος αυτού του άρθρου, είναι αδύνατο να αναπτυχθούν τα μαθηματικά. Ας ξεκινήσουμε όμως με μερικά μικρά πράγματα. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί, ξέρετε. Γεμίζουν την αριθμητική γραμμή πυκνά και χωρίς κενά. Γνωρίζετε επίσης τι είναι οι φυσικοί αριθμοί: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - δεν χωρούν όλοι μνήμη ακόμα και η μεγαλύτερη. Έχουν επίσης ένα όμορφο όνομα: φυσικό. Έχουν τόσες πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Πώς σας αρέσει αυτό:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

«Είναι φυσικό να ενδιαφερόμαστε για τους φυσικούς αριθμούς», είπε ο Karl Lindenholm και ο Leopold Kronecker (1823–1891) το έθεσαν συνοπτικά: «Ο Θεός δημιούργησε τους φυσικούς αριθμούς - όλα τα άλλα είναι έργο του ανθρώπου!». Τα κλάσματα (οι μαθηματικοί ονομάζονται ορθολογικοί αριθμοί) έχουν επίσης εκπληκτικές ιδιότητες:

και στην ισότητα:

μπορείτε, ξεκινώντας από την αριστερή πλευρά, να τρίψετε τα συν και να τα αντικαταστήσετε με σημάδια πολλαπλασιασμού - και η ισότητα θα παραμείνει αληθινή:

Και ούτω καθεξής.

Όπως γνωρίζετε, για τα κλάσματα a/b, όπου τα a και b είναι ακέραιοι και b ≠ 0, λένε ρητός αριθμός. Αλλά μόνο στα πολωνικά αυτοαποκαλούνται έτσι. Μιλούν αγγλικά, γαλλικά, γερμανικά και ρωσικά. ρητός αριθμός. Στα αγγλικά: rational numbers. Παράλογοι αριθμοί είναι παράλογο, παράλογο. Μιλάμε επίσης πολωνικά για παράλογες θεωρίες, ιδέες και πράξεις - αυτό είναι τρέλα, φανταστικό, ανεξήγητο. Λένε ότι οι γυναίκες φοβούνται τα ποντίκια - δεν είναι τόσο παράλογο;

Στην αρχαιότητα οι αριθμοί είχαν ψυχή. Το καθένα σήμαινε κάτι, το καθένα συμβόλιζε κάτι, το καθένα αντανακλούσε ένα σωματίδιο αυτής της αρμονίας του Σύμπαντος, δηλαδή στα ελληνικά, του Κόσμου. Η ίδια η λέξη «κόσμος» σημαίνει ακριβώς «τάξη, τάξη». Οι πιο σημαντικοί ήταν το έξι (ο τέλειος αριθμός) και το δέκα, το άθροισμα των διαδοχικών αριθμών 1+2+3+4, που αποτελούνταν από άλλους αριθμούς των οποίων ο συμβολισμός έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα. Έτσι ο Πυθαγόρας δίδαξε ότι οι αριθμοί είναι η αρχή και η πηγή των πάντων και μόνο η ανακάλυψη παράλογους αριθμούς έστρεψε την πυθαγόρεια κίνηση προς τη γεωμετρία. Γνωρίζουμε το σκεπτικό από το σχολείο ότι

Το √2 είναι ένας παράλογος αριθμός

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει: και ότι αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να μειωθεί. Συγκεκριμένα, τόσο το p όσο και το q είναι περιττό. Ας τετραγωνίσουμε: 2q²=p². Ο αριθμός p δεν μπορεί να είναι περιττός, αφού τότε το p² θα ήταν επίσης, και η αριστερή πλευρά της ισότητας είναι πολλαπλάσιο του 2. Επομένως, το p είναι άρτιο, δηλ. p = 2r, άρα p²= 4 χρόνια². Μειώνουμε την εξίσωση 2q²= 4 χρόνια² κατά 2. Παίρνουμε q²= 2 χρόνια² και βλέπουμε ότι το q πρέπει επίσης να είναι άρτιο, κάτι που υποθέσαμε ότι δεν είναι έτσι. Η αντίφαση που προκύπτει συμπληρώνει την απόδειξη - αυτός ο τύπος μπορεί συχνά να βρεθεί σε κάθε μαθηματικό βιβλίο. Αυτή η περιστασιακή απόδειξη είναι ένα αγαπημένο κόλπο των σοφιστών.

Αυτή η απεραντοσύνη δεν μπορούσε να γίνει κατανοητή από τους Πυθαγόρειους. Όλα πρέπει να μπορούν να περιγραφούν με αριθμούς και η διαγώνιος ενός τετραγώνου, που μπορεί να σχεδιάσει ο καθένας με ένα ραβδί στην άμμο, δεν έχει μήκος, δηλαδή μετρήσιμο. «Η πίστη μας ήταν μάταιη», φαίνεται να λένε οι Πυθαγόρειοι. Πως και έτσι? Είναι κάπως... παράλογο. Η Ένωση προσπάθησε να σωθεί με σεχταριστικές μεθόδους. Όποιος τολμήσει να αποκαλύψει την ύπαρξή του παράλογους αριθμούς, επρόκειτο να τιμωρηθεί με θάνατο και, προφανώς, η πρώτη ποινή εκτελέστηκε από τον ίδιο τον πλοίαρχο.

Όμως «η σκέψη πέρασε αλώβητη». Η χρυσή εποχή έφτασε. Οι Έλληνες νίκησαν τους Πέρσες (Μαραθώνας 490, Μπλοκ 479). Η δημοκρατία ενισχύθηκε, νέα κέντρα φιλοσοφικής σκέψης και νέα σχολεία προέκυψαν. Οι Πυθαγόρειοι εξακολουθούσαν να αγωνίζονται με τους παράλογους αριθμούς. Κάποιοι κήρυξαν: δεν θα κατανοήσουμε αυτό το μυστήριο. μπορούμε μόνο να αναλογιστούμε και να θαυμάσουμε το Uncharted. Οι τελευταίοι ήταν πιο πραγματιστές και δεν σεβάστηκαν το Μυστήριο. Εκείνη την εποχή εμφανίστηκαν δύο νοητικές κατασκευές που έκαναν δυνατή την κατανόηση των παράλογων αριθμών. Το γεγονός ότι τα καταλαβαίνουμε πολύ καλά σήμερα ανήκει στον Εύδοξο (XNUMXος αιώνας π.Χ.) και μόλις στα τέλη του XNUMXου αιώνα ο Γερμανός μαθηματικός Richard Dedekind έδωσε στη θεωρία του Εύδοξου τη σωστή ανάπτυξη σύμφωνα με τις απαιτήσεις της αυστηρής μαθηματική λογική.

Μάζα φιγούρων ή βασανιστήρια

Θα μπορούσατε να ζήσετε χωρίς αριθμούς; Ακόμα κι αν τι θα ήταν η ζωή... Θα έπρεπε να πάμε στο κατάστημα για να αγοράσουμε παπούτσια με ένα ραβδί, που προηγουμένως μετρήσαμε το μήκος του ποδιού. «Θα ήθελα μήλα, αχ, εδώ είναι!» – θα δείχναμε πωλητές στην αγορά. "Πόση απόσταση είναι από το Modlin στο Nowy Dwur Mazowiecki"; "Αρκετα κοντα!"

Οι αριθμοί χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση. Με τη βοήθειά τους εκφράζουμε και πολλές άλλες έννοιες. Για παράδειγμα, η κλίμακα του χάρτη δείχνει πόσο έχει μειωθεί η περιοχή της χώρας. Μια κλίμακα δύο προς ένα, ή απλά 2, εκφράζει το γεγονός ότι κάτι έχει διπλασιαστεί σε μέγεθος. Ας πούμε μαθηματικά: κάθε ομοιογένεια αντιστοιχεί σε έναν αριθμό - την κλίμακα του.

Εργασία. Κάναμε ξηρογραφικό αντίγραφο, μεγεθύνοντας την εικόνα αρκετές φορές. Στη συνέχεια, το μεγεθυσμένο θραύσμα μεγεθύνθηκε ξανά b φορές. Ποια είναι η γενική κλίμακα μεγέθυνσης; Απάντηση: a × b πολλαπλασιαζόμενο επί b. Αυτές οι κλίμακες πρέπει να πολλαπλασιαστούν. Ο αριθμός "μείον ένα", -1, αντιστοιχεί σε μία ακρίβεια που είναι κεντραρισμένη, δηλαδή περιστρέφεται κατά 180 μοίρες. Ποιος αριθμός αντιστοιχεί σε στροφή 90 μοιρών; Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός. Είναι, είναι… ή μάλλον, θα είναι σύντομα. Είστε έτοιμοι για ηθικά βασανιστήρια; Πάρτε θάρρος και πάρτε την τετραγωνική ρίζα του μείον ένα. Ακούω? Τι δεν μπορείς; Άλλωστε, σου είπα να είσαι γενναίος. Τραβήξτε το έξω! Γεια, καλά, τράβα, τράβα... Θα βοηθήσω... Εδώ: -1 Τώρα που το έχουμε, ας προσπαθήσουμε να το χρησιμοποιήσουμε... Φυσικά, τώρα μπορούμε να εξαγάγουμε τις ρίζες όλων των αρνητικών αριθμών, για παράδειγμα.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

«Ανεξάρτητα από την ψυχική οδύνη που συνεπάγεται». Αυτό έγραψε ο Girolamo Cardano το 1539, προσπαθώντας να ξεπεράσει τις ψυχικές δυσκολίες που σχετίζονται με - όπως έγινε σύντομα να ονομαστεί - φανταστικές ποσότητες. Τα θεώρησε αυτά...

...Εργασία. Χώρισε το 10 σε δύο μέρη, το γινόμενο του οποίου είναι 40. Θυμάμαι ότι από το προηγούμενο επεισόδιο έγραψε κάπως έτσι: Σίγουρα αδύνατο. Ωστόσο, ας κάνουμε αυτό: διαιρέστε το 10 σε δύο ίσα μέρη, το καθένα ίσο με 5. Πολλαπλασιάστε τα - βγήκε 25. Από τα 25 που προέκυψαν, αφαιρέστε τώρα 40, αν θέλετε, και παίρνετε -15. Τώρα κοιτάξτε: Το √-15 που προστίθεται και αφαιρείται από το 5 σας δίνει το γινόμενο του 40. Αυτοί είναι οι αριθμοί 5-√-15 και 5 + √-15. Η επαλήθευση του αποτελέσματος πραγματοποιήθηκε από τον Cardano ως εξής:

«Ανεξάρτητα από τον πόνο που συνεπάγεται, πολλαπλασιάστε το 5 + √-15 επί 5-√-15. Παίρνουμε 25 - (-15), που ισούται με 25 + 15. Άρα, το γινόμενο είναι 40 .... Είναι πραγματικά δύσκολο».

Λοιπόν, πόσο είναι: (1 + √-1) (1-√-1); Ας πολλαπλασιαζόμαστε. Να θυμάστε ότι √-1 × √-1 = -1. Μεγάλος. Τώρα ένα πιο δύσκολο έργο: από a + b√-1 σε ab√-1. Τι συνέβη? Βεβαίως, ως εξής: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Τι ενδιαφέρον έχει αυτό; Για παράδειγμα, το γεγονός ότι μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε εκφράσεις που «δεν γνωρίζαμε πριν». Ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού για²-b² Θυμάστε τον τύπο για²+b² δεν ήταν, γιατί δεν θα μπορούσε να είναι. Στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, το πολυώνυμο²+b² είναι αναπόφευκτο. Ας συμβολίσουμε την «δική μας» τετραγωνική ρίζα του «μείον ένα» με το γράμμα i.²= -1. Είναι ένας «εξωπραγματικός» πρώτος αριθμός. Και αυτό είναι που περιγράφει μια στροφή 90 μοιρών ενός αεροπλάνου. Γιατί; Παρά όλα αυτά,²= -1, και ο συνδυασμός μιας περιστροφής 90 μοιρών και μιας άλλης περιστροφής 180 μοιρών δίνει μια περιστροφή 45 μοιρών. Τι είδους περιστροφή περιγράφεται; Προφανώς στροφή XNUMX μοιρών. Τι σημαίνει το -i; Είναι λίγο πιο περίπλοκο:

(-ΕΓΩ)² = -i × (-i) = + i² = -1

Έτσι το -i περιγράφει επίσης μια περιστροφή 90 μοιρών, ακριβώς στην αντίθετη φορά της περιστροφής του i. Ποια είναι αριστερά και ποια δεξιά; Πρέπει να κλείσετε ραντεβού. Υποθέτουμε ότι ο αριθμός i καθορίζει μια περιστροφή προς μια κατεύθυνση που οι μαθηματικοί θεωρούν θετική: αριστερόστροφα. Ο αριθμός -i περιγράφει την περιστροφή προς την κατεύθυνση που κινούνται οι δείκτες.

Υπάρχουν όμως αριθμοί όπως το i και το -i; Είναι! Μόλις τους δώσαμε στη ζωή. Ακούω? Ότι υπάρχουν μόνο στο κεφάλι μας; Λοιπόν, τι να περιμένουμε; Όλοι οι άλλοι αριθμοί υπάρχουν επίσης μόνο στο μυαλό μας. Πρέπει να δούμε αν οι νεογέννητοι αριθμοί μας επιβιώνουν. Πιο συγκεκριμένα, αν το σχέδιο είναι λογικό και αν θα είναι χρήσιμα για κάτι. Παρακαλώ λάβετε υπόψη μου ότι όλα είναι εντάξει και ότι αυτοί οι νέοι αριθμοί είναι πραγματικά χρήσιμοι. Αριθμοί όπως 3+i, 5-7i, γενικότερα: a+bi λέγονται μιγαδικοί αριθμοί. Σας έδειξα πώς μπορείτε να τα αποκτήσετε περιστρέφοντας το αεροπλάνο. Μπορούν να εισαχθούν με διαφορετικούς τρόπους: ως σημεία σε ένα επίπεδο, ως μερικά πολυώνυμα, ως κάποιο είδος αριθμητικών πινάκων ... και κάθε φορά είναι τα ίδια: η εξίσωση x² +1=0 δεν υπάρχει στοιχείο... το hocus pocus είναι ήδη εκεί!!!! Να χαρούμε και να χαρούμε!!!

Τέλος ξενάγησης

Αυτό ολοκληρώνει την πρώτη μας περιήγηση στη χώρα των ψεύτικων αριθμών. Από τους άλλους απόκοσμους αριθμούς, θα αναφέρω επίσης αυτούς που έχουν άπειρο αριθμό ψηφίων μπροστά και όχι πίσω (λέγονται 10-adic, για εμάς είναι πιο σημαντικό το p-adic, όπου το p είναι πρώτος αριθμός), για παράδειγμα X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Ας μετρήσουμε Χ παρακαλώ². Επειδή? Τι γίνεται αν υπολογίσουμε το τετράγωνο ενός αριθμού ακολουθούμενο από άπειρο αριθμό ψηφίων; Λοιπόν, ας κάνουμε το ίδιο. Γνωρίζουμε ότι το x² = Η.

Ας βρούμε έναν άλλο τέτοιο αριθμό με άπειρο αριθμό ψηφίων μπροστά που να ικανοποιεί την εξίσωση. Υπόδειξη: το τετράγωνο ενός αριθμού που τελειώνει σε έξι τελειώνει επίσης σε έξι. Το τετράγωνο ενός αριθμού που τελειώνει σε 76 τελειώνει επίσης σε 76. Το τετράγωνο ενός αριθμού που τελειώνει σε 376 τελειώνει επίσης σε 376. Το τετράγωνο ενός αριθμού που τελειώνει σε 9376 τελειώνει επίσης σε 9376. Το τετράγωνο ενός αριθμού που τελειώνει σε XNUMX σε… Υπάρχουν και αριθμοί που είναι τόσο μικροί που, όντας θετικοί, παραμένουν μικρότεροι από κάθε άλλο θετικό αριθμό. Είναι τόσο μικροσκοπικά που μερικές φορές αρκεί να τα τετραγωνίσετε για να πάρετε το μηδέν. Υπάρχουν αριθμοί που δεν ικανοποιούν την συνθήκη a × b = b × a. Υπάρχουν και άπειροι αριθμοί. Πόσοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν; Άπειρα πολλά; Ναι, αλλά πόσο; Πώς μπορεί αυτό να εκφραστεί ως αριθμός; Απάντηση: ο μικρότερος από τους άπειρους αριθμούς. σημειώνεται με ένα όμορφο γράμμα: Α και συμπληρώνεται με μηδενικό δείκτη Α₀ , άλεφ-μηδέν.

Υπάρχουν επίσης αριθμοί που δεν γνωρίζουμε ότι υπάρχουν... ή που μπορείτε να πιστεύετε ή να μην πιστεύετε όπως θέλετε. Και μιλώντας για τα παρόμοια: Ελπίζω να σας αρέσουν ακόμα οι Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.