ΣΕ ΠΟΙΟΝ, δηλαδή: ΔΟΚΙΜΑΣΕ ΟΠΟΥ ΜΠΟΡΕΙΣ - μέρος 2

Στο προηγούμενο επεισόδιο, ασχοληθήκαμε με το Sudoku, ένα αριθμητικό παιχνίδι στο οποίο οι αριθμοί είναι βασικά διατεταγμένοι σε διάφορα διαγράμματα σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Η πιο κοινή παραλλαγή είναι μια σκακιέρα 9×9, χωρισμένη επιπλέον σε εννέα κελιά 3×3. Οι αριθμοί από το 1 έως το 9 πρέπει να τεθούν σε αυτό έτσι ώστε να μην επαναλαμβάνονται ούτε σε κάθετη σειρά (οι μαθηματικοί λένε: σε μια στήλη) ούτε σε μια οριζόντια σειρά (οι μαθηματικοί λένε: σε μια σειρά) - και, επιπλέον, έτσι ώστε δεν επαναλαμβάνονται. επαναλάβετε σε οποιοδήποτε μικρότερο τετράγωνο.

Na Σύκο. 1 βλέπουμε αυτό το παζλ σε μια πιο απλή εκδοχή, που είναι ένα τετράγωνο 6 × 6 χωρισμένο σε ορθογώνια 2 × 3. Εισάγουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6 - έτσι ώστε να μην επαναλαμβάνονται κάθετα, ούτε οριζόντια, ούτε σε καθένα από τα επιλεγμένα εξάγωνα.

Ας δοκιμάσουμε που φαίνεται στο επάνω τετράγωνο. Μπορείτε να το συμπληρώσετε με αριθμούς από το 1 έως το 6 σύμφωνα με τους κανόνες που ορίζονται για αυτό το παιχνίδι; Είναι δυνατό - αλλά διφορούμενο. Ας δούμε - σχεδιάστε ένα τετράγωνο στα αριστερά ή ένα τετράγωνο στα δεξιά.

Μπορούμε να πούμε ότι αυτή δεν είναι η βάση για το παζλ. Συνήθως υποθέτουμε ότι ένα παζλ έχει μία λύση. Το έργο της εύρεσης διαφορετικών βάσεων για το «μεγάλο» Sudoku, 9x9, είναι ένα δύσκολο έργο και δεν υπάρχει περίπτωση να λυθεί πλήρως.

Μια άλλη σημαντική σύνδεση είναι το αντιφατικό σύστημα. Το κάτω μεσαίο τετράγωνο (αυτό με τον αριθμό 2 στην κάτω δεξιά γωνία) δεν μπορεί να συμπληρωθεί. Γιατί;

Διασκέδαση και Υποχωρήσεις

Παίζουμε. Ας χρησιμοποιήσουμε τη διαίσθηση των παιδιών. Πιστεύουν ότι η ψυχαγωγία είναι μια εισαγωγή στη μάθηση. Πάμε στο διάστημα. περιλαμβάνεται Σύκο. 2 όλοι βλέπουν το πλέγμα τετράεδροαπό μπάλες, για παράδειγμα, μπάλες του πινγκ-πονγκ; Θυμηθείτε μαθήματα σχολικής γεωμετρίας. Τα χρώματα στην αριστερή πλευρά της εικόνας εξηγούν με τι είναι κολλημένο κατά τη συναρμολόγηση του μπλοκ. Συγκεκριμένα, τρεις γωνιακές (κόκκινες) μπάλες θα κολληθούν σε μία. Επομένως, πρέπει να είναι ο ίδιος αριθμός. Ίσως 9. Γιατί; Και γιατί όχι?

Α, δεν το διατύπωσα καθήκοντα. Ακούγεται κάπως έτσι: είναι δυνατόν να εγγραφούν οι αριθμοί από το 0 έως το 9 στο ορατό πλέγμα έτσι ώστε κάθε πρόσωπο να περιέχει όλους τους αριθμούς; Το έργο δεν είναι δύσκολο, αλλά πόσα πρέπει να φανταστείς! Δεν θα χαλάσω την ευχαρίστηση των αναγνωστών και δεν θα δώσω λύση.

Αυτό είναι ένα πολύ όμορφο και υποτιμημένο σχήμα. κανονικό οκτάεδρο, χτισμένο από δύο πυραμίδες (=πυραμίδες) με τετράγωνη βάση. Όπως υποδηλώνει το όνομα, το οκτάεδρο έχει οκτώ όψεις.

Υπάρχουν έξι κορυφές σε ένα οκτάεδρο. Αντιφάσκει κύβοςπου έχει έξι όψεις και οκτώ κορυφές. Οι άκρες και των δύο σβώλων είναι ίδιες - δώδεκα το καθένα. Αυτό διπλά στερεά - αυτό σημαίνει ότι συνδέοντας τα κέντρα των όψεων του κύβου παίρνουμε ένα οκτάεδρο και τα κέντρα των όψεων του οκτάεδρου θα μας δώσουν έναν κύβο. Και τα δύο αυτά χτυπήματα έχουν απόδοση ("επειδή πρέπει") Φόρμουλα Euler: Το άθροισμα του αριθμού των κορυφών και του αριθμού των όψεων είναι 2 περισσότερο από τον αριθμό των ακμών.

3. Κανονικό οκτάεδρο σε παράλληλη προβολή και οκτάεδρο πλέγμα που αποτελείται από σφαίρες με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε ακμή να έχει τέσσερις σφαίρες.

Εργασία 1. Αρχικά, γράψτε την τελευταία πρόταση της προηγούμενης παραγράφου χρησιμοποιώντας έναν μαθηματικό τύπο. Στο Σύκο. 3 βλέπετε ένα οκταεδρικό πλέγμα, που αποτελείται επίσης από σφαίρες. Κάθε άκρη έχει τέσσερις μπάλες. Κάθε όψη είναι ένα τρίγωνο δέκα σφαιρών. Το πρόβλημα τίθεται ανεξάρτητα: είναι δυνατόν να βάλουμε αριθμούς από το 0 έως το 9 στους κύκλους του πλέγματος έτσι ώστε μετά την κόλληση ενός συμπαγούς σώματος, κάθε τοίχος να περιέχει όλους τους αριθμούς (συνεπάγεται ότι χωρίς επανάληψη). Όπως και πριν, η μεγαλύτερη δυσκολία σε αυτό το έργο είναι πώς το πλέγμα μετατρέπεται σε ένα συμπαγές σώμα. Δεν μπορώ να το εξηγήσω γραπτώς, οπότε ούτε εδώ δίνω τη λύση.

4. Δύο εικοσάεδρα από μπάλες του πινγκ-πονγκ. Παρατηρήστε το διαφορετικό συνδυασμό χρωμάτων.

ήδη Πλάτων (και έζησε τον XNUMXο-XNUMXο αιώνα π.Χ.) γνώριζε όλα τα κανονικά πολύεδρα: τετράεδρο, κύβο, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο i εικοσάεδρο. Είναι εκπληκτικό πώς έφτασε εκεί - ούτε μολύβι, ούτε χαρτί, ούτε στυλό, ούτε βιβλία, ούτε smartphone, ούτε internet! Δεν θα μιλήσω για το δωδεκάεδρο εδώ. Αλλά το εικοσάεδρο sudoku είναι ενδιαφέρον. Βλέπουμε αυτό το κομμάτι εικονογράφηση 4και το δίκτυό του Εικ. 5.

5. Κανονικό πλέγμα του εικοσάεδρου.

Όπως και πριν, αυτό δεν είναι ένα πλέγμα με την έννοια που θυμόμαστε (;!) από το σχολείο, αλλά ένας τρόπος κόλλησης τριγώνων από μπάλες (μπάλες).

Εργασία 2. Πόσες μπάλες χρειάζονται για να κατασκευαστεί ένα τέτοιο εικοσάεδρο; Παραμένει σωστός ο ακόλουθος συλλογισμός: αφού κάθε όψη είναι ένα τρίγωνο, αν πρόκειται να υπάρχουν 20 όψεις, τότε χρειάζονται έως και 60 σφαίρες;

6. Πλέγμα εικοσάεδρου από σφαίρες. Κάθε κύκλος είναι, για παράδειγμα, μια μπάλα του πινγκ πονγκ, αλλά η κατασκευή κύκλων σε κύκλους που σημειώνονται με το ίδιο χρώμα συγχωνεύεται σε έναν. Άρα έχουμε δώδεκα σφαίρες (= δώδεκα κορυφές: κόκκινο, μπλε, μωβ, μπλε και οκτώ κίτρινες).

Είναι εύκολο να δούμε ότι τρεις αριθμοί στο εικοσάεδρο δεν είναι αρκετοί. Πιο συγκεκριμένα: είναι αδύνατο να απαριθμήσουμε κορυφές με αριθμούς 1, 2, 3 έτσι ώστε κάθε (τριγωνική) όψη να έχει αυτούς τους τρεις αριθμούς και να μην υπάρχουν επαναλήψεις. Είναι δυνατόν με τέσσερις αριθμούς; Ναι είναι δυνατόν! Ας δούμε Ρύζι. 6 και 7.

7. Δείτε πώς να αριθμήσετε τις σφαίρες που απαρτίζουν το εικοσάεδρο έτσι ώστε κάθε όψη να περιέχει αριθμούς άλλους από το 1, 2, 3, 4. Ποιο από τα σώματα του σχ. Το 4 χρωματίζεται έτσι;

Εργασία 3. Τρεις από τους τέσσερις αριθμούς μπορούν να επιλεγούν με τέσσερις τρόπους: 123, 124, 134, 234. Βρείτε πέντε τέτοια τρίγωνα στο εικοσάεδρο στο σχ. 7 (καθώς και από εικονογραφήσεις 4).

Εργασία 4 (απαιτεί πολύ καλή χωρική φαντασία). Το εικοσάεδρο έχει δώδεκα κορυφές, που σημαίνει ότι μπορεί να κολληθεί μεταξύ τους από δώδεκα μπάλες (Σύκο. 7). Σημειώστε ότι υπάρχουν τρεις κορυφές (= μπάλες) με ετικέτα 1, τρεις με 2, και ούτω καθεξής. Έτσι, μπάλες του ίδιου χρώματος σχηματίζουν ένα τρίγωνο. Τι είναι αυτό το τρίγωνο; Ίσως ισόπλευρο; Κοίτα ξανά εικονογραφήσεις 4.

Η επόμενη εργασία για τον παππού / γιαγιά και εγγονό / εγγονή. Και οι γονείς μπορούν επιτέλους να δοκιμάσουν τις δυνάμεις τους, αλλά χρειάζονται υπομονή και χρόνο.

Εργασία 5. Αγοράστε δώδεκα (κατά προτίμηση 24) μπάλες του πινγκ πονγκ, περίπου τέσσερα χρώματα χρώματος, ένα πινέλο και τη σωστή κόλλα - δεν προτείνω γρήγορες όπως Superglue ή Droplet γιατί στεγνώνουν πολύ γρήγορα και είναι επικίνδυνες για τα παιδιά. Κόλλα στο εικοσάεδρο. Ντύστε την εγγονή σας με ένα μπλουζάκι που θα πλυθεί (ή θα πεταχτεί) αμέσως μετά. Καλύψτε το τραπέζι με αλουμινόχαρτο (κατά προτίμηση με εφημερίδες). Χρωματίστε προσεκτικά το εικοσάεδρο με τέσσερα χρώματα 1, 2, 3, 4, όπως φαίνεται στο σχ. Σύκο. 7. Μπορείτε να αλλάξετε τη σειρά - πρώτα να χρωματίσετε τα μπαλόνια και μετά να τα κολλήσετε. Ταυτόχρονα, μικροσκοπικοί κύκλοι πρέπει να μείνουν άβαφοι για να μην κολλάει το χρώμα στο χρώμα.

Τώρα το πιο δύσκολο έργο (ακριβέστερα, ολόκληρη η σειρά τους).

Εργασία 6 (Πιο συγκεκριμένα, το γενικό θέμα). Σχεδιάστε το εικοσάεδρο ως τετράεδρο και ένα οκτάεδρο επάνω Ρύζι. 2 και 3 Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχουν τέσσερις μπάλες σε κάθε άκρη. Σε αυτήν την παραλλαγή, η εργασία είναι χρονοβόρα και ακόμη και δαπανηρή. Ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας πόσες μπάλες χρειάζεστε. Κάθε πρόσωπο έχει δέκα σφαίρες, άρα το εικοσάεδρο χρειάζεται διακόσιες; Οχι! Πρέπει να θυμόμαστε ότι πολλές μπάλες μοιράζονται. Πόσες άκρες έχει ένα εικοσάεδρο; Μπορεί να υπολογιστεί με κόπο, αλλά σε τι χρησιμεύει ο τύπος Euler;

w–k+s=2

όπου w, k, s είναι ο αριθμός των κορυφών, των ακμών και των όψεων, αντίστοιχα. Θυμόμαστε ότι w = 12, s = 20, που σημαίνει k = 30. Έχουμε 30 άκρες του εικοσάεδρου. Μπορείτε να το κάνετε διαφορετικά, γιατί αν υπάρχουν 20 τρίγωνα, τότε έχουν μόνο 60 άκρες, αλλά δύο από αυτά είναι κοινά.

Ας υπολογίσουμε πόσες μπάλες χρειάζεστε. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχει μόνο μία εσωτερική μπάλα - ούτε στην κορυφή του σώματός μας, ούτε στην άκρη. Έτσι, έχουμε συνολικά 20 τέτοιες μπάλες. Υπάρχουν 12 κορυφές. Κάθε άκρη έχει δύο μπάλες χωρίς κορυφή (βρίσκονται μέσα στην άκρη, αλλά όχι μέσα στο πρόσωπο). Δεδομένου ότι υπάρχουν 30 άκρες, υπάρχουν 60 μάρμαρα, αλλά δύο από αυτά είναι κοινά, που σημαίνει ότι χρειάζεστε μόνο 30 μάρμαρα, επομένως χρειάζεστε συνολικά 20 + 12 + 30 = 62 μάρμαρα. Οι μπάλες μπορούν να αγοραστούν για τουλάχιστον 50 πένες (συνήθως πιο ακριβές). Αν βάλεις και το κόστος της κόλλας θα βγει ...πολύ. Η καλή συγκόλληση απαιτεί αρκετές ώρες επίπονης εργασίας. Μαζί είναι κατάλληλα για ένα χαλαρωτικό χόμπι - τα προτείνω αντί, για παράδειγμα, να βλέπουν τηλεόραση.

Υποχώρηση 1. Στη σειρά ταινιών του Andrzej Wajda Χρόνια, Μέρες, δύο άντρες παίζουν σκάκι «επειδή πρέπει να περάσουν με κάποιο τρόπο την ώρα μέχρι το δείπνο». Διαδραματίζεται στην Κρακοβία της Γαλικίας. Πράγματι: οι εφημερίδες έχουν ήδη διαβαστεί (τότε είχαν 4 σελίδες), η τηλεόραση και το τηλέφωνο δεν έχουν εφευρεθεί ακόμη, δεν υπάρχουν ποδοσφαιρικοί αγώνες. Ανία στις λακκούβες. Σε μια τέτοια κατάσταση, οι άνθρωποι έβγαλαν ψυχαγωγία για τον εαυτό τους. Σήμερα τα έχουμε αφού πατήσουμε το τηλεχειριστήριο...

Υποχώρηση 2. Στη συνάντηση του 2019 της Ένωσης Καθηγητών Μαθηματικών, ένας Ισπανός καθηγητής έδειξε ένα πρόγραμμα υπολογιστή που μπορεί να ζωγραφίσει συμπαγείς τοίχους σε οποιοδήποτε χρώμα. Ήταν λίγο ανατριχιαστικό, γιατί ζωγράφισαν μόνο τα χέρια, σχεδόν έκοψαν το σώμα. Σκέφτηκα από μέσα μου: πόση διασκέδαση μπορείς να πάρεις από μια τέτοια «σκίαση»; Όλα διαρκούν δύο λεπτά και μέχρι το τέταρτο δεν θυμόμαστε τίποτα. Εν τω μεταξύ, το παλιομοδίτικο «κεντητό» ηρεμεί και εκπαιδεύει. Όποιος δεν πιστεύει, ας προσπαθήσει.

Ας επιστρέψουμε στον XNUMXο αιώνα και στις πραγματικότητες μας. Αν δεν θέλουμε χαλάρωση με τη μορφή χρονοβόρου κολλήματος μπάλες, τότε θα σχεδιάσουμε τουλάχιστον ένα πλέγμα από ένα εικοσάεδρο, οι άκρες του οποίου έχουν τέσσερις μπάλες. Πως να το κάνεις? Κόψτε το σωστά Εικ. 6. Ο προσεκτικός αναγνώστης μαντεύει ήδη το πρόβλημα:

Εργασία 7. Είναι δυνατόν να απαριθμήσουμε τις μπάλες με αριθμούς από το 0 έως το 9 έτσι ώστε όλοι αυτοί οι αριθμοί να εμφανίζονται σε κάθε όψη ενός τέτοιου εικοσάεδρου;

Για τι πληρωνόμαστε;

Σήμερα αναρωτιόμαστε συχνά τον σκοπό των δραστηριοτήτων μας και ο «γκρίζος φορολογούμενος» θα ρωτήσει γιατί να πληρώνει μαθηματικούς για να λύνουν τέτοιους γρίφους;

Η απάντηση είναι αρκετά απλή. Τέτοιοι «παζλ», ενδιαφέροντες από μόνοι τους, είναι «ένα θραύσμα από κάτι πιο σοβαρό». Άλλωστε, οι στρατιωτικές παρελάσεις είναι μόνο ένα εξωτερικό, θεαματικό μέρος μιας δύσκολης υπηρεσίας. Θα δώσω μόνο ένα παράδειγμα, αλλά θα ξεκινήσω με ένα περίεργο αλλά διεθνώς αναγνωρισμένο μαθηματικό αντικείμενο. Το 1852, ένας Άγγλος φοιτητής ρώτησε τον καθηγητή του αν ήταν δυνατόν να χρωματιστεί ένας χάρτης με τέσσερα χρώματα έτσι ώστε οι γειτονικές χώρες να εμφανίζονται πάντα με διαφορετικά χρώματα; Να προσθέσω ότι δεν θεωρούμε «γείτονες» αυτούς που συναντώνται μόνο σε ένα σημείο, όπως οι πολιτείες του Ουαϊόμινγκ και της Γιούτα στις ΗΠΑ. Ο καθηγητής δεν ήξερε... και το πρόβλημα περίμενε λύση για πάνω από εκατό χρόνια.

8. Εικοσάεδρο από μπλοκ RECO. Οι ανακλαστήρες φλας δείχνουν τι κοινό έχει το εικοσάεδρο με το τρίγωνο και το πεντάγωνο. Πέντε τρίγωνα συγκλίνουν σε κάθε κορυφή.

Συνέβη με έναν απροσδόκητο τρόπο. Το 1976, μια ομάδα Αμερικανών μαθηματικών έγραψε ένα πρόγραμμα για να λύσει αυτό το πρόβλημα (και αποφάσισαν: ναι, τέσσερα χρώματα θα είναι πάντα αρκετά). Αυτή ήταν η πρώτη απόδειξη ενός μαθηματικού γεγονότος που αποκτήθηκε με τη βοήθεια μιας «μαθηματικής μηχανής» - όπως ονομαζόταν ένας υπολογιστής πριν από μισό αιώνα (και ακόμη νωρίτερα: «ηλεκτρονικός εγκέφαλος»).

Εδώ είναι ένας ειδικά εμφανισμένος "χάρτης της Ευρώπης" (Σύκο. 9). Οι χώρες που έχουν κοινά σύνορα συνδέονται. Ο χρωματισμός του χάρτη είναι ο ίδιος με τον χρωματισμό των κύκλων αυτού του γραφήματος (που ονομάζεται γράφημα) έτσι ώστε κανένας συνδεδεμένος κύκλος να μην έχει το ίδιο χρώμα. Μια ματιά στο Λιχτενστάιν, το Βέλγιο, τη Γαλλία και τη Γερμανία δείχνει ότι τρία χρώματα δεν αρκούν. Αν θέλεις, Αναγνώστη, χρωματίστε το με τέσσερα χρώματα.

9. Ποιος συνορεύει με ποιον στην Ευρώπη;

Λοιπόν, ναι, αλλά αξίζει τα λεφτά των φορολογουμένων; Ας δούμε λοιπόν το ίδιο γράφημα λίγο διαφορετικά. Ξεχάστε ότι υπάρχουν κράτη και σύνορα. Αφήστε τους κύκλους να συμβολίζουν πακέτα πληροφοριών που θα σταλούν από το ένα σημείο στο άλλο (για παράδειγμα, από το P στο EST) και τα τμήματα να αντιπροσωπεύουν πιθανές συνδέσεις, καθεμία από τις οποίες έχει το δικό της εύρος ζώνης. Αποστολή το συντομότερο δυνατό;

Αρχικά, ας δούμε μια πολύ απλοποιημένη, αλλά και πολύ ενδιαφέρουσα κατάσταση από μαθηματική άποψη. Πρέπει να στείλουμε κάτι από το σημείο S (= ως αρχή) στο σημείο M (= τέλος) χρησιμοποιώντας ένα δίκτυο συνδέσεων με το ίδιο εύρος ζώνης, ας πούμε 1. Το βλέπουμε αυτό στο Σύκο. 10.

10. Δίκτυο συνδέσεων από Statsyika Zdrój προς Μεγάπολη.

Ας φανταστούμε ότι περίπου 89 bit πληροφοριών πρέπει να σταλούν από το S στο M. Στον συγγραφέα αυτών των λέξεων αρέσουν τα προβλήματα με τα τρένα, οπότε φαντάζεται ότι είναι διευθυντής στο Stacie Zdrój, από όπου πρέπει να στείλει 144 βαγόνια. στον σταθμό της μητρόπολης. Γιατί ακριβώς 144; Διότι, όπως θα δούμε, αυτό θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της απόδοσης ολόκληρου του δικτύου. Η χωρητικότητα είναι 1 σε κάθε παρτίδα, δηλ. ένα αυτοκίνητο μπορεί να περάσει ανά μονάδα χρόνου (ένα bit πληροφοριών, ενδεχομένως και Gigabyte).

Ας βεβαιωθούμε ότι όλα τα αυτοκίνητα συναντώνται ταυτόχρονα στο M. Όλοι φτάνουν εκεί σε 89 μονάδες χρόνου. Αν έχω να στείλω ένα πολύ σημαντικό πακέτο πληροφοριών από το S στο M, το χωρίζω σε ομάδες των 144 μονάδων και το σπρώχνω όπως παραπάνω. Τα μαθηματικά εγγυώνται ότι αυτό θα είναι το πιο γρήγορο. Πώς κατάλαβα ότι χρειάζεσαι 89; Πράγματι μάντεψα, αλλά αν δεν μάντευα, θα έπρεπε να το καταλάβω την εξίσωση Kirchhoff (θυμάται κανείς; - αυτές είναι εξισώσεις που περιγράφουν τη ροή του ρεύματος). Το εύρος ζώνης του δικτύου είναι 184/89, το οποίο είναι περίπου ίσο με 1,62.

Περί χαράς

Παρεμπιπτόντως, μου αρέσει ο αριθμός 144. Μου άρεσε να οδηγώ το λεωφορείο με αυτόν τον αριθμό μέχρι την πλατεία του Κάστρου στη Βαρσοβία - όταν δεν υπήρχε ανακαινισμένο Βασιλικό Κάστρο δίπλα του. Ίσως οι νεαροί αναγνώστες ξέρουν τι είναι η ντουζίνα. Είναι 12 αντίτυπα, αλλά μόνο οι μεγαλύτεροι σε ηλικία αναγνώστες θυμούνται ότι μια ντουζίνα, δηλ. 122=144, αυτή είναι η λεγόμενη παρτίδα. Και όλοι όσοι γνωρίζουν μαθηματικά λίγο περισσότερο από το σχολικό πρόγραμμα θα το καταλάβουν αμέσως Σύκο. 10 έχουμε αριθμούς Fibonacci και ότι το εύρος ζώνης του δικτύου είναι κοντά στον "χρυσό αριθμό"

Στην ακολουθία Fibonacci, το 144 είναι ο μόνος αριθμός που είναι τέλειο τετράγωνο. Τα εκατόν σαράντα τέσσερα είναι επίσης ένας «χαρούμενος αριθμός». Έτσι ένας Ινδός ερασιτέχνης μαθηματικός Dattatreya Ramachandra Kaprekar το 1955, ονόμασε αριθμούς που διαιρούνται με το άθροισμα των ψηφίων τους:

Αν το ήξερε Adam Mickiewicz, σίγουρα θα έγραφε όχι στο Dzyady: «Από μια παράξενη μητέρα. το αίμα του είναι οι παλιοί του ήρωες / Και το όνομά του είναι σαράντα τέσσερα, μόνο πιο κομψό: Και το όνομά του είναι εκατόν σαράντα τέσσερα.

Πάρτε την ψυχαγωγία στα σοβαρά

Ελπίζω να έπεισα τους αναγνώστες ότι τα παζλ Sudoku είναι η διασκεδαστική πλευρά των ερωτήσεων που σίγουρα αξίζει να ληφθούν σοβαρά υπόψη. Δεν μπορώ να αναπτύξω άλλο αυτό το θέμα. Ω, υπολογισμός πλήρους εύρους ζώνης δικτύου από το διάγραμμα που παρέχεται στο Σύκο. 9 Η συγγραφή ενός συστήματος εξισώσεων θα χρειαζόταν δύο ή περισσότερες ώρες - ίσως και δεκάδες δευτερόλεπτα (!) εργασίας στον υπολογιστή.