Χρωματιστά τετράγωνα και ηλιακές εκλείψεις
Το άρθρο περιγράφει τις τάξεις μου για μαθητές γυμνασίου - υποτρόφους του Εθνικού Ταμείου Παιδιών. Το ίδρυμα αναζητά ιδιαίτερα χαρισματικά παιδιά και νέους (από την τάξη XNUMX του δημοτικού έως το λύκειο) και προσφέρει «υποτροφίες» σε επιλεγμένους μαθητές. Ωστόσο, δεν συνίστανται καθόλου στην ανάληψη μετρητών, αλλά στην ολοκληρωμένη φροντίδα για την ανάπτυξη ταλέντων, κατά κανόνα, για πολλά χρόνια. Σε αντίθεση με πολλά άλλα έργα αυτού του τύπου, γνωστοί επιστήμονες, πολιτιστικές προσωπικότητες, εξέχοντες ανθρωπιστές και άλλοι σοφοί άνθρωποι, καθώς και ορισμένοι πολιτικοί, παίρνουν στα σοβαρά τους θαλάμους του Ιδρύματος.
Οι δραστηριότητες του Ιδρύματος εκτείνονται σε όλους τους κλάδους που αποτελούν βασικά σχολικά μαθήματα, εκτός από τον αθλητισμό, συμπεριλαμβανομένης της τέχνης. Το ταμείο δημιουργήθηκε το 1983 ως αντίδοτο στην τότε πραγματικότητα. Οποιοσδήποτε μπορεί να κάνει αίτηση στο ταμείο (συνήθως μέσω σχολείου, κατά προτίμηση πριν από το τέλος της σχολικής χρονιάς), αλλά, φυσικά, υπάρχει ένα συγκεκριμένο κόσκινο, μια συγκεκριμένη διαδικασία πρόκρισης.
Όπως ήδη ανέφερα, το άρθρο βασίζεται στα master classes μου, συγκεκριμένα στη Gdynia, τον Μάρτιο του 2016, στο 24ο γυμνάσιο στο III λύκειο. ΠΟΛΕΜΙΚΟ ΝΑΥΤΙΚΟ. Εδώ και πολλά χρόνια, αυτά τα σεμινάρια διοργανώνονται υπό την αιγίδα του Ιδρύματος από τον Wojciech Thomalczyk, έναν δάσκαλο με εξαιρετικό χάρισμα και υψηλό πνευματικό επίπεδο. Το 2008 μπήκε στην πρώτη δεκάδα της Πολωνίας, στους οποίους απονεμήθηκε ο τίτλος του Καθηγητή Παιδαγωγικής (που προβλεπόταν από τον νόμο πριν από πολλά χρόνια). Υπάρχει μια μικρή υπερβολή στη δήλωση: «Η εκπαίδευση είναι ο άξονας του κόσμου».
και το φεγγάρι είναι πάντα συναρπαστικές - τότε μπορείτε να νιώσετε ότι ζούμε σε έναν μικροσκοπικό πλανήτη σε έναν τεράστιο χώρο, όπου τα πάντα είναι σε κίνηση, μετρημένα σε εκατοστά και δευτερόλεπτα. Με τρομάζει κιόλας λίγο, και η χρονική προοπτική. Μαθαίνουμε ότι η επόμενη ολική έκλειψη, ορατή από την περιοχή της σημερινής Βαρσοβίας, θα είναι το... 2681. Αναρωτιέμαι ποιος θα το δει; Τα φαινομενικά μεγέθη του Ήλιου και της Σελήνης στον ουρανό μας είναι σχεδόν τα ίδια - γι' αυτό οι εκλείψεις είναι τόσο σύντομες και τόσο θεαματικές. Για αιώνες, αυτά τα μικρά λεπτά θα πρέπει να είναι αρκετά για να δουν οι αστρονόμοι το ηλιακό στέμμα. Είναι περίεργο που συμβαίνουν δύο φορές το χρόνο... αλλά αυτό σημαίνει μόνο ότι κάπου στη Γη μπορούν να τα δει κανείς για μικρό χρονικό διάστημα. Ως αποτέλεσμα των παλιρροϊκών κινήσεων, η Σελήνη απομακρύνεται από τη Γη - σε 260 εκατομμύρια χρόνια θα είναι τόσο μακριά που εμείς (εμείς;;;) θα βλέπουμε μόνο δακτυλιοειδείς εκλείψεις.
Προφανώς ο πρώτος που προέβλεψε έκλειψη, ήταν ο Θαλής της Μιλήτου (28-585 αιώνες π.Χ.). Πιθανότατα δεν θα ξέρουμε αν συνέβη πράγματι, αν δηλαδή το προέβλεψε, γιατί το γεγονός ότι η έκλειψη στη Μικρά Ασία έγινε τον Μάιο του 567 του 566 π.Χ. είναι γεγονός που επιβεβαιώνεται από σύγχρονους υπολογισμούς. Φυσικά, παραθέτω στοιχεία για τον σημερινό απολογισμό του χρόνου. Όταν ήμουν παιδί, φανταζόμουν πώς οι άνθρωποι μετρούσαν τα χρόνια. Αυτό είναι, για παράδειγμα, XNUMX π.Χ., έρχεται η παραμονή της Πρωτοχρονιάς και οι άνθρωποι χαίρονται: μόνο XNUMX χρόνια π.Χ.! Πόσο χαρούμενοι πρέπει να ήταν όταν επιτέλους έφτασε η «εποχή μας»! Τι στροφή χιλιετιών που ζήσαμε πριν από μερικά χρόνια!
Τα μαθηματικά υπολογισμού ημερομηνιών και εύρους εκλείψεις, δεν είναι ιδιαίτερα περίπλοκο, αλλά είναι γεμάτο με κάθε λογής παράγοντες που σχετίζονται με την κανονικότητα και, ακόμη χειρότερα, με την ανομοιόμορφη κίνηση του σώματος στις τροχιές. Θα ήθελα ακόμη και να μάθω αυτά τα μαθηματικά. Πώς μπορούσε ο Θαλής της Μιλήτου να κάνει τους απαραίτητους υπολογισμούς; Η απάντηση είναι απλή. Πρέπει να έχετε έναν χάρτη του ουρανού. Πώς να φτιάξετε έναν τέτοιο χάρτη; Αυτό επίσης δεν είναι δύσκολο, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήξεραν πώς να το κάνουν. Τα μεσάνυχτα, δύο ιερείς βγαίνουν στη στέγη του ναού. Κάθε ένας από αυτούς κάθεται και ζωγραφίζει αυτό που βλέπει (όπως ο συνάδελφός του). Μετά από δύο χιλιάδες χρόνια, γνωρίζουμε τα πάντα για την κίνηση των πλανητών ...
Όμορφη γεωμετρία ή διασκέδαση στο "χαλί"
Στους Έλληνες δεν άρεσαν οι αριθμοί, κατέφευγαν στη γεωμετρία. Αυτό θα κάνουμε. Μας έκλειψη θα είναι απλά, πολύχρωμα, αλλά εξίσου ενδιαφέροντα και αληθινά. Αποδεχόμαστε τη σύμβαση ότι η μπλε φιγούρα κινείται με τέτοιο τρόπο ώστε να επισκιάζει την κόκκινη. Ας ονομάσουμε τη μπλε φιγούρα το φεγγάρι και την κόκκινη φιγούρα τον ήλιο. Θέτουμε στον εαυτό μας τα ακόλουθα ερωτήματα:
- πόσο διαρκεί μια έκλειψη;
- όταν καλύπτεται ο μισός στόχος.
Ρύζι. 1 Πολύχρωμο «χαλί» με ήλιο και φεγγάρι
- ποια είναι η μέγιστη κάλυψη?
- είναι δυνατόν να αναλυθεί η εξάρτηση της κάλυψης της θωράκισης από το χρόνο; Σε αυτό το άρθρο (περιορίζομαι από την ποσότητα του κειμένου) θα επικεντρωθώ στη δεύτερη ερώτηση. Πίσω από αυτό είναι μια ωραία γεωμετρία, ίσως χωρίς βαρετούς υπολογισμούς. Ας δούμε το σύκο. 1. Μπορεί να υποτεθεί ότι θα συσχετιστεί με ... έκλειψη Ηλίου;
Πρέπει να πω ειλικρινά ότι οι εργασίες που θα συζητήσω θα είναι ειδικά επιλεγμένες, προσαρμοσμένες στις γνώσεις και τις δεξιότητες των μαθητών Γυμνασίου και Λυκείου. Αλλά προπονούμαστε σε τέτοιες εργασίες, καθώς οι μουσικοί παίζουν ζυγαριά και οι αθλητές κάνουν γενικές αναπτυξιακές ασκήσεις. Άλλωστε δεν είναι απλώς ένα όμορφο χαλί (εικ. 1);
Ρύζι. 2 «Μπλε» Σελήνη και «Κόκκινος» Ήλιος
Τα ουράνια σώματά μας, τουλάχιστον αρχικά, θα είναι χρωματιστά τετράγωνα. Το φεγγάρι είναι μπλε, ο ήλιος είναι κόκκινος (το καλύτερο για χρωματισμό). με το παρόν έκλειψη Το φεγγάρι κυνηγά τον ήλιο στον ουρανό, προλαβαίνει ... και τον κλείνει. Το ίδιο θα είναι και με εμάς. Η απλούστερη περίπτωση, όταν η Σελήνη κινείται σε σχέση με τον Ήλιο, όπως φαίνεται στο Σχ. 2. Μια έκλειψη αρχίζει όταν η άκρη του δίσκου της Σελήνης αγγίζει την άκρη του δίσκου του Ήλιου (Εικ. 2) και τελειώνει όταν υπερβαίνει αυτό.
Ρύζι. 3 Το φεγγάρι πλησιάζει τον ήλιο διαγώνια
Υποθέτουμε ότι η «Σελήνη» κινεί ένα κελί ανά μονάδα χρόνου, για παράδειγμα, ανά λεπτό. Στη συνέχεια, η έκλειψη διαρκεί οκτώ μονάδες χρόνου, ας πούμε λεπτά. τα μισα ηλιακές εκλείψεις εντελώς θαμπωμένο Το μισό του καντράν κλείνει δύο φορές: μετά από 2 και 6 λεπτά. Το γράφημα ποσοστιαίας συσκότισης είναι απλό. Κατά τη διάρκεια των πρώτων δύο λεπτών, η ασπίδα κλείνει ομοιόμορφα με ρυθμό μηδέν προς 1, τα επόμενα δύο λεπτά εκτίθεται με τον ίδιο ρυθμό.
Ακολουθεί ένα πιο ενδιαφέρον παράδειγμα (Εικ. 3). Το φεγγάρι πλησιάζει τον ήλιο διαγώνια. Σύμφωνα με τη συμφωνία πληρωμής ανά λεπτό, η έκλειψη διαρκεί 8√2 λεπτά - στη μέση αυτού του χρόνου έχουμε μια ολική έκλειψη. Ας υπολογίσουμε ποιο μέρος του ήλιου καλύπτεται μετά το χρόνο t (Εικ. 3). Αν έχουν περάσει t λεπτά από την αρχή της έκλειψης, και ως αποτέλεσμα η Σελήνη είναι όπως φαίνεται στο Σχ. 5, τότε (προσοχή!) Επομένως, καλύπτεται (το εμβαδόν του τετραγώνου APQR), ίσο με το μισό του ηλιακού δίσκου· επομένως, καλύφθηκε όταν, δηλ. μετά από 4 λεπτά (μετά 4 λεπτά πριν το τέλος της έκλειψης).
Ρύζι. 4 Γράφημα της συνάρτησης «σκίασης».
Ολότητα διαρκεί μία στιγμή (t = 4√2), και η γραφική παράσταση της συνάρτησης «σκιασμένο μέρος» αποτελείται από δύο τόξα παραβολών (Εικ. 4).
Το μπλε φεγγάρι μας θα αγγίξει τη γωνία με τον κόκκινο ήλιο, αλλά θα την καλύψει, πηγαίνοντας όχι διαγώνια, αλλά ελαφρώς διαγώνια.Ενδιαφέρουσα γεωμετρία εμφανίζεται όταν περιπλέκουμε λίγο την κίνηση (Εικ. 6). Η κατεύθυνση της κίνησης είναι πλέον διάνυσμα [4,3], δηλαδή «τέσσερα κελιά προς τα δεξιά, τρία κελιά προς τα πάνω». Η θέση του Ήλιου είναι τέτοια που η έκλειψη αρχίζει (θέση Α) όταν οι πλευρές των «ουράνιων σωμάτων» συγκλίνουν στο ένα τέταρτο του μήκους τους. Όταν η Σελήνη μετακινηθεί στη θέση Β, θα επισκιάσει το ένα έκτο του Ήλιου, και στη θέση Γ θα επισκιάσει το μισό. Στη θέση Δ, έχουμε μια ολική έκλειψη και μετά όλα επιστρέφουν, «όπως ήταν».
Ρύζι. 5 Μέρος του Ήλιου κρυμμένο κατά τη διάρκεια του χρόνου t
Η έκλειψη τελειώνει όταν η Σελήνη βρίσκεται στη θέση G. Διήρκεσε όσο μήκος τμήματος ΑΓ. Αν, όπως και πριν, πάρουμε ως μονάδα χρόνου το χρόνο κατά τον οποίο η Σελήνη διέρχεται «ένα τετράγωνο», τότε το μήκος του ΑΓ είναι ίσο. Αν επιστρέψαμε στην παλιά σύμβαση ότι τα ουράνια σώματά μας είναι 4 επί 4, το αποτέλεσμα θα ήταν διαφορετικό (τι;). Όπως είναι εύκολο να φανεί, ο στόχος κλείνει μετά από t < 15. Το γράφημα της συνάρτησης «ποσοστό κάλυψης οθόνης» φαίνεται στο σχ. 6.
Ρύζι. 6 Γράφημα της συνάρτησης «ποσοστό προστασίας».
Εξίσωση έκλειψης και άλματος
Ρύζι. 7 Απόφραξη του ηλιακού δίσκου κατά την έκλειψη που φαίνεται στην εικ. 6
Το πρόβλημα των εκλείψεων θα ήταν ελλιπές αν δεν λαμβάναμε υπόψη την περίπτωση των κύκλων. Αυτό είναι πολύ πιο περίπλοκο, αλλά ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε πότε ο ένας κύκλος επισκιάζει το μισό του άλλου - και στην απλούστερη περίπτωση, όταν ένας από αυτούς κινείται κατά μήκος της διαμέτρου που τους συνδέει και τους δύο. Το σχέδιο είναι γνωστό στους κατόχους κάποιας πιστωτικής κάρτας.
Ο υπολογισμός της θέσης των πεδίων είναι περίπλοκος, καθώς απαιτεί, πρώτον, γνώση του τύπου για το εμβαδόν ενός κυκλικού τμήματος, δεύτερον, γνώση του τόξου της γωνίας και τρίτον (και το χειρότερο από όλα), την ικανότητα για να λύσετε μια ορισμένη εξίσωση άλματος. Δεν θα εξηγήσω τι είναι η «μεταβατική εξίσωση», ας δούμε ένα παράδειγμα (Εικ. 8).
Ρύζι. 8 «Σφαιρική» έκλειψη
Κυκλικό τμήμα είναι το «μπωλ» που μένει μετά την κοπή ενός κύκλου με ευθεία γραμμή. Η περιοχή ενός τέτοιου τμήματος είναι S = 1/2r2(φ-sinφ), όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου, και φ είναι η κεντρική γωνία στην οποία στηρίζεται το τμήμα (Εικ. 8). Αυτό επιτυγχάνεται εύκολα αφαιρώντας την περιοχή του τριγώνου από την περιοχή του κυκλικού τομέα.
Επεισόδιο Ο1O2 (η απόσταση μεταξύ των κέντρων των κύκλων) είναι τότε ίση με 2rcosφ/2 και το ύψος (πλάτος, «γραμμή μέσης») h = 2rsinφ/2. Έτσι, αν θέλουμε να υπολογίσουμε πότε η Σελήνη θα καλύψει το μισό του ηλιακού δίσκου, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση: η οποία, μετά την απλοποίηση, γίνεται:
Ρύζι. 9 Γραφήματα δύο συναρτήσεων
Η λύση τέτοιων εξισώσεων υπερβαίνει την απλή άλγεβρα - η εξίσωση περιέχει και τις δύο γωνίες και τις τριγωνομετρικές τους συναρτήσεις. Η εξίσωση είναι πέρα από την εμβέλεια των παραδοσιακών μεθόδων. Γι' αυτό λέγεται άλμα. Ας δούμε πρώτα τα γραφήματα και των δύο συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεις και συναρτήσεις.Μπορούμε να διαβάσουμε μια κατά προσέγγιση λύση από αυτό το σχήμα. Ωστόσο, μπορούμε να λάβουμε μια επαναληπτική προσέγγιση ή… να χρησιμοποιήσουμε την επιλογή Επίλυση στο υπολογιστικό φύλλο του Excel. Κάθε μαθητής γυμνασίου πρέπει να μπορεί να το κάνει αυτό, γιατί είναι ο 20ός αιώνας. Χρησιμοποίησα ένα πιο εξελιγμένο εργαλείο Mathematica και εδώ είναι η λύση μας με XNUMX δεκαδικά ψηφία περιττής ακρίβειας:
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Ρύζι. 10 Κινούμενα σχέδια της έκλειψης στο matematica
Το μετατρέπουμε σε μοίρες πολλαπλασιάζοντας επί 180/π. Παίρνουμε 132 μοίρες, 20 λεπτά, 45 και ένα τέταρτο του δευτερολέπτου τόξου. Υπολογίζουμε ότι η απόσταση από το κέντρο του κύκλου είναι Ο1O2 = 0,808 ακτίνα, και «μέση» 2,310.
