Γεωμετρικά μονοπάτια και αλσύλλια

Ενώ έγραφα αυτό το άρθρο, θυμήθηκα ένα πολύ παλιό τραγούδι του Jan Pietrzak, το οποίο τραγούδησε πριν από τη σατιρική του δραστηριότητα στο καμπαρέ Pod Egidą, που αναγνωρίζεται στη Λαϊκή Δημοκρατία της Πολωνίας ως δικλείδα ασφαλείας. θα μπορούσε κανείς ειλικρινά να γελάσει με τα παράδοξα του συστήματος. Σε αυτό το τραγούδι, ο συγγραφέας συνέστησε τη σοσιαλιστική πολιτική συμμετοχή, γελοιοποιώντας όσους θέλουν να είναι απολιτικοί και κλείνοντας το ραδιόφωνο στην εφημερίδα. «Είναι καλύτερα να επιστρέψουμε στο σχολείο διαβάζοντας», τραγούδησε ειρωνικά ο XNUMXχρονος τότε Πετσάκ.

Επιστρέφω στο σχολείο διαβάζοντας. Ξαναδιαβάζω (όχι για πρώτη φορά) το βιβλίο του Shchepan Yelensky (1881-1949) «Lylavati». Για λίγους αναγνώστες, η ίδια η λέξη κάτι λέει. Αυτό είναι το όνομα της κόρης του διάσημου ινδουιστή μαθηματικού, γνωστής ως Bhaskara (1114-1185), ονόματι Akaria, ή του σοφού που ονόμασε το βιβλίο του για την άλγεβρα με αυτό το όνομα. Η Λιλαβάτη αργότερα έγινε και η ίδια διάσημη μαθηματικός και φιλόσοφος. Σύμφωνα με άλλες πηγές, ήταν αυτή που έγραψε η ίδια το βιβλίο.

Ο Szczepan Yelensky έδωσε τον ίδιο τίτλο στο βιβλίο του για τα μαθηματικά (πρώτη έκδοση, 1926). Μπορεί ακόμη και να είναι δύσκολο να ονομάσουμε αυτό το βιβλίο μαθηματικό έργο - ήταν περισσότερο ένα σύνολο παζλ, και σε μεγάλο βαθμό ξαναγραμμένο από γαλλικές πηγές (τα πνευματικά δικαιώματα με τη σύγχρονη έννοια δεν υπήρχαν). Σε κάθε περίπτωση, για πολλά χρόνια ήταν το μόνο δημοφιλές πολωνικό βιβλίο για τα μαθηματικά - αργότερα προστέθηκε σε αυτό το δεύτερο βιβλίο του Jelensky, τα Γλυκά του Πυθαγόρα. Έτσι οι νέοι που ενδιαφέρονται για τα μαθηματικά (που είναι ακριβώς αυτό που ήμουν κάποτε) δεν είχαν τίποτα να διαλέξουν…

από την άλλη, το «Λιλαβάτι» έπρεπε να το ξέρουμε σχεδόν απέξω... Α, ήταν φορές... Το μεγαλύτερο πλεονέκτημά τους ήταν ότι ήμουν... έφηβος τότε. Σήμερα, από τη σκοπιά ενός καλά μορφωμένου μαθηματικού, κοιτάζω τον Λιλαβάτι με εντελώς διαφορετικό τρόπο - ίσως σαν ορειβάτης στις στροφές του μονοπατιού προς την Shpiglasova Pshelench. Ούτε το ένα ούτε το άλλο χάνει τη γοητεία του... Με το χαρακτηριστικό του ύφος, ο Shchepan Yelensky, ο οποίος δηλώνει τις λεγόμενες εθνικές ιδέες στην προσωπική του ζωή, γράφει στον πρόλογο:

Χωρίς να θίξω την περιγραφή των εθνικών χαρακτηριστικών, θα πω ότι ακόμη και μετά από ενενήντα χρόνια, τα λόγια του Yelensky για τα μαθηματικά δεν έχουν χάσει τη σημασία τους. Τα μαθηματικά σε διδάσκουν να σκέφτεσαι. Είναι γεγονός. Μπορούμε να σας μάθουμε να σκέφτεστε διαφορετικά, πιο απλά και πιο όμορφα; Μπορεί. Απλώς... ακόμα δεν μπορούμε. Εξηγώ στους μαθητές μου που δεν θέλουν να κάνουν μαθηματικά ότι αυτό είναι επίσης ένα τεστ της νοημοσύνης τους. Εάν δεν μπορείτε να μάθετε πραγματικά απλή θεωρία μαθηματικών, τότε... ίσως οι νοητικές σας ικανότητες είναι χειρότερες από ό,τι θα θέλαμε και οι δύο...;

Σημάδια στην άμμο

Και εδώ είναι η πρώτη ιστορία στο «Lylavati» - μια ιστορία που περιγράφεται από τον Γάλλο φιλόσοφο Joseph de Maistre (1753-1821).

Ένας ναύτης από ένα ναυαγισμένο πλοίο πετάχτηκε από τα κύματα σε μια άδεια ακτή, την οποία θεωρούσε ακατοίκητη. Ξαφνικά, στην παραλιακή άμμο, είδε ένα ίχνος μιας γεωμετρικής φιγούρας σχεδιασμένο μπροστά σε κάποιον. Τότε ήταν που κατάλαβε ότι το νησί δεν είναι έρημο!

Παραθέτοντας τον de Mestri, ο Yelensky γράφει: γεωμετρικό σχήμαΘα ήταν μια βουβή έκφραση για τον άτυχο, ναυαγό, σύμπτωση, αλλά του έδειξε με μια ματιά την αναλογία και τον αριθμό, και αυτό προανήγγειλε έναν φωτισμένο άνθρωπο. Τόσο για την ιστορία.

Σημειώστε ότι ένας ναύτης θα προκαλέσει την ίδια αντίδραση, για παράδειγμα, σχεδιάζοντας το γράμμα Κ, ... και οποιαδήποτε άλλα ίχνη παρουσίας ενός ατόμου. Εδώ η γεωμετρία εξιδανικεύεται.

Ωστόσο, ο αστρονόμος Camille Flammarion (1847-1925) πρότεινε ότι οι πολιτισμοί χαιρετούν ο ένας τον άλλον από απόσταση χρησιμοποιώντας τη γεωμετρία. Έβλεπε σε αυτό τη μόνη σωστή και δυνατή προσπάθεια επικοινωνίας. Ας δείξουμε σε τέτοιους Αρειανούς τα πυθαγόρεια τρίγωνα... θα μας απαντήσουν με τον Θαλή, θα τους απαντήσουμε με μοτίβα Vieta, ο κύκλος τους θα χωρέσει σε ένα τρίγωνο, έτσι ξεκίνησε μια φιλία...

Συγγραφείς όπως ο Ιούλιος Βερν και ο Στάνισλαβ Λεμ επέστρεψαν σε αυτή την ιδέα. Και το 1972, πλακάκια με γεωμετρικά (και όχι μόνο) σχέδια τοποθετήθηκαν στο σκάφος Pioneer, το οποίο εξακολουθεί να διασχίζει τις εκτάσεις του διαστήματος, τώρα σχεδόν 140 αστρονομικές μονάδες από εμάς (1 I είναι η μέση απόσταση της Γης από τη Γη) . Ήλιος, δηλαδή περίπου 149 εκατομμύρια km). Το πλακίδιο σχεδιάστηκε, εν μέρει, από τον αστρονόμο Frank Drake, δημιουργό του αμφιλεγόμενου κανόνα για τον αριθμό των εξωγήινων πολιτισμών.

Η γεωμετρία είναι καταπληκτική. Όλοι γνωρίζουμε τη γενική άποψη για την προέλευση αυτής της επιστήμης. Εμείς (εμείς οι άνθρωποι) μόλις αρχίσαμε να μετράμε τη γη (και αργότερα τη γη) για τους πιο χρηστικούς σκοπούς. Ο καθορισμός αποστάσεων, η χάραξη ευθειών, η σήμανση ορθών γωνιών και ο υπολογισμός των όγκων έγιναν σταδιακά αναγκαιότητα. Εξ ου και το όλο θέμα γεωμετρία ("Μέτρηση της γης"), εξ ου και όλα τα μαθηματικά ...

Ωστόσο, για κάποιο διάστημα αυτή η ξεκάθαρη εικόνα της ιστορίας της επιστήμης μας θόλωσε. Διότι εάν τα μαθηματικά χρειάζονταν αποκλειστικά για λειτουργικούς σκοπούς, δεν θα ασχολούμασταν με την απόδειξη απλών θεωρημάτων. «Βλέπετε ότι αυτό θα έπρεπε να ισχύει καθόλου», θα έλεγε κάποιος αφού έλεγχε ότι σε πολλά ορθογώνια τρίγωνα το άθροισμα των τετραγώνων των υποτείνουσας είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Γιατί τέτοιος φορμαλισμός;

Η δαμασκηνόπιτα πρέπει να είναι νόστιμη, το πρόγραμμα του υπολογιστή πρέπει να λειτουργεί, το μηχάνημα πρέπει να λειτουργεί. Αν μέτρησα τη χωρητικότητα της κάννης τριάντα φορές και όλα είναι εντάξει, τότε γιατί αλλιώς;

Στο μεταξύ, οι αρχαίοι Έλληνες πέρασαν από το μυαλό ότι έπρεπε να βρεθούν κάποια επίσημα στοιχεία.

Άρα, τα μαθηματικά ξεκινούν από τον Θαλή (625-547 π.Χ.). Υποτίθεται ότι ήταν η Μίλητος που άρχισε να αναρωτιέται γιατί. Δεν αρκεί στους έξυπνους ανθρώπους να έχουν δει κάτι, να έχουν πειστεί για κάτι. Είδαν την ανάγκη για απόδειξη, μια λογική αλληλουχία επιχειρημάτων από την υπόθεση έως τη διατριβή.

Ήθελαν κι άλλα. Πιθανότατα ήταν ο Θαλής που προσπάθησε πρώτος να εξηγήσει τα φυσικά φαινόμενα με νατουραλιστικό τρόπο, χωρίς θεϊκή παρέμβαση. Η ευρωπαϊκή φιλοσοφία ξεκίνησε με τη φιλοσοφία της φύσης - με αυτό που βρίσκεται ήδη πίσω από τη φυσική (εξ ου και το όνομα: μεταφυσική). Όμως τα θεμέλια της ευρωπαϊκής οντολογίας και φυσικής φιλοσοφίας τέθηκαν από τους Πυθαγόρειους (Πυθαγόρας, περ. 580-περ. 500 π.Χ.).

Ίδρυσε το δικό του σχολείο στον Κρότωνα στα νότια της χερσονήσου των Απεννίνων -σήμερα θα το λέγαμε αίρεση. Η επιστήμη (με τη σημερινή έννοια της λέξης), ο μυστικισμός, η θρησκεία και η φαντασία είναι όλα στενά αλληλένδετα. Ο Thomas Mann παρουσίασε πολύ όμορφα τα μαθήματα των μαθηματικών σε ένα γερμανικό γυμνάσιο στο μυθιστόρημα Doctor Faustus. Μετάφραση από τη Maria Kuretskaya και τον Witold Virpsha, αυτό το απόσπασμα λέει:

Στο ενδιαφέρον βιβλίο του Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present, βρήκα μια πολύ ενδιαφέρουσα άποψη. Σε ένα από τα κεφάλαια, ο συγγραφέας περιγράφει τη σημασία της Πυθαγόρειας σχολής. Ο ίδιος ο τίτλος του κεφαλαίου με εντυπωσίασε. Διαβάζει: «Η εφεύρεση των Μαθηματικών: Οι Πυθαγόρειοι».

Συχνά συζητάμε αν ανακαλύπτονται μαθηματικές θεωρίες (π.χ. άγνωστες χώρες) ή εφευρίσκονται (π.χ. μηχανές που δεν υπήρχαν πριν). Μερικοί δημιουργικοί μαθηματικοί βλέπουν τους εαυτούς τους ως ερευνητές, άλλοι ως εφευρέτες ή σχεδιαστές, λιγότερο συχνά ως μετρητές.

Αλλά ο συγγραφέας αυτού του βιβλίου γράφει για την εφεύρεση των μαθηματικών γενικά.

Από την υπερβολή στην αυταπάτη

Μετά από αυτό το μακρύ εισαγωγικό μέρος, θα προχωρήσω στην αρχή. γεωμετρίανα περιγράψει πώς μια υπερβολική εξάρτηση από τη γεωμετρία μπορεί να παραπλανήσει έναν επιστήμονα. Ο Johannes Kepler είναι γνωστός στη φυσική και την αστρονομία ως ο ανακάλυψε τους τρεις νόμους της κίνησης των ουράνιων σωμάτων. Πρώτον, κάθε πλανήτης στο ηλιακό σύστημα κινείται γύρω από τον ήλιο σε μια ελλειπτική τροχιά, σε μία από τις εστίες της οποίας είναι ο ήλιος. Δεύτερον, σε τακτά χρονικά διαστήματα η προπορευόμενη ακτίνα του πλανήτη, που προέρχεται από τον Ήλιο, αντλεί ίσα πεδία. Τρίτον, ο λόγος του τετραγώνου της περιόδου περιστροφής ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο προς τον κύβο του ημι-κύριου άξονα της τροχιάς του (δηλαδή, η μέση απόσταση από τον Ήλιο) είναι σταθερός για όλους τους πλανήτες του ηλιακού συστήματος.

Ίσως αυτός ήταν ο τρίτος νόμος - απαιτούσε πολλά δεδομένα και υπολογισμούς για την καθιέρωσή του, κάτι που ώθησε τον Κέπλερ να συνεχίσει την αναζήτηση μοτίβων στην κίνηση και τη θέση των πλανητών. Η ιστορία της νέας του «ανακάλυψης» είναι πολύ διδακτική. Από την αρχαιότητα, θαυμάζαμε όχι μόνο τα κανονικά πολύεδρα, αλλά και επιχειρήματα που δείχνουν ότι υπάρχουν μόνο πέντε από αυτά στο διάστημα. Ένα τρισδιάστατο πολύεδρο ονομάζεται κανονικό εάν οι όψεις του είναι πανομοιότυπα κανονικά πολύγωνα και κάθε κορυφή έχει τον ίδιο αριθμό ακμών. Ενδεικτικά, κάθε γωνία ενός κανονικού πολυεδρικού θα πρέπει να "μοιάζει το ίδιο". Το πιο διάσημο πολύεδρο είναι ο κύβος. Όλοι έχουν δει έναν συνηθισμένο αστράγαλο.

Το κανονικό τετράεδρο είναι λιγότερο γνωστό και στο σχολείο ονομάζεται κανονική τριγωνική πυραμίδα. Μοιάζει με πυραμίδα. Τα υπόλοιπα τρία κανονικά πολύεδρα είναι λιγότερο γνωστά. Ένα οκτάεδρο σχηματίζεται όταν ενώσουμε τα κέντρα των άκρων ενός κύβου. Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο μοιάζουν ήδη με μπάλες. Κατασκευασμένα από μαλακό δέρμα, θα ήταν άνετα στο σκάψιμο. Το σκεπτικό ότι δεν υπάρχουν κανονικά πολύεδρα εκτός από τα πέντε πλατωνικά στερεά είναι πολύ καλό. Αρχικά, συνειδητοποιούμε ότι εάν το σώμα είναι κανονικό, τότε ο ίδιος αριθμός (έστω q) πανομοιότυπων κανονικών πολυγώνων πρέπει να συγκλίνει σε κάθε κορυφή, έστω και γωνίες p. Τώρα πρέπει να θυμηθούμε ποια είναι η γωνία σε ένα κανονικό πολύγωνο. Αν κάποιος δεν θυμάται από το σχολείο, σας υπενθυμίζουμε πώς να βρείτε το σωστό μοτίβο. Κάναμε ένα ταξίδι στη γωνία. Σε κάθε κορυφή στρίβουμε από την ίδια γωνία α. Όταν περιφέρουμε το πολύγωνο και επιστρέψουμε στην αφετηρία, έχουμε κάνει p τέτοιες στροφές, και συνολικά έχουμε γυρίσει 360 μοίρες.

Αλλά το α είναι συμπλήρωμα 180 μοιρών της γωνίας που θέλουμε να υπολογίσουμε, και επομένως είναι

Βρήκαμε τον τύπο για τη γωνία (ένας μαθηματικός θα έλεγε: μέτρα γωνίας) ενός κανονικού πολυγώνου. Ας ελέγξουμε: στο τρίγωνο p = 3, δεν υπάρχει α

Σαν αυτό. Όταν p = 4 (τετράγωνο), τότε

οι βαθμοί είναι επίσης μια χαρά.

Τι παίρνουμε για ένα πεντάγωνο; Τι συμβαίνει λοιπόν όταν υπάρχουν q πολύγωνα, με κάθε p να έχει τις ίδιες γωνίες

 μοίρες που φθίνουν σε μία κορυφή; Αν ήταν σε επίπεδο, τότε θα σχηματιζόταν μια γωνία

μοίρες και δεν μπορεί να είναι πάνω από 360 μοίρες - γιατί τότε τα πολύγωνα επικαλύπτονται.

Ωστόσο, δεδομένου ότι αυτά τα πολύγωνα συναντώνται στο χώρο, η γωνία πρέπει να είναι μικρότερη από την πλήρη γωνία.

Και εδώ είναι η ανισότητα από την οποία όλα προκύπτουν:

Διαιρέστε το με το 180, πολλαπλασιάστε και τα δύο μέρη με p, τάξη (p-2) (q-2) < 4. Τι ακολουθεί; Ας γνωρίζουμε ότι το p και το q πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί και ότι p > 2 (γιατί; Και τι είναι το p;) και επίσης q > 2. Δεν υπάρχουν πολλοί τρόποι να κάνουμε το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών μικρότερο από 4. Εμείς Θα τα απαριθμήσω όλα στον πίνακα 1.

Δεν δημοσιεύω σχέδια, όλοι μπορούν να δουν αυτές τις φιγούρες στο Διαδίκτυο... Στο Διαδίκτυο... Δεν θα αρνηθώ μια λυρική παρέκβαση - ίσως είναι ενδιαφέρουσα για τους μικρούς αναγνώστες. Το 1970 μίλησα σε ένα σεμινάριο. Το θέμα ήταν δύσκολο. Είχα λίγο χρόνο για προετοιμασία, καθόμουν τα βράδια. Το κύριο άρθρο ήταν μόνο για ανάγνωση στη θέση του. Ο χώρος ήταν άνετος, με μια ατμόσφαιρα εργασίας, καλά, έκλεισε στις επτά. Τότε η ίδια η νύφη (τώρα η γυναίκα μου) προσφέρθηκε να ξαναγράψει ολόκληρο το άρθρο για μένα: καμιά δεκαριά τυπωμένες σελίδες. Το αντέγραψα (όχι, όχι με στυλό, είχαμε ακόμη και στυλό), η διάλεξη ήταν επιτυχημένη. Σήμερα προσπάθησα να βρω αυτήν την έκδοση, η οποία είναι ήδη παλιά. Θυμάμαι μόνο το όνομα του συγγραφέα... Οι αναζητήσεις στο Διαδίκτυο κράτησαν πολύ... ολόκληρα δεκαπέντε λεπτά. Το σκέφτομαι με ένα χαμόγελο και μια μικρή αδικαιολόγητη λύπη.

Επιστρέφουμε στο Keplera i γεωμετρία. Προφανώς, ο Πλάτων προέβλεψε την ύπαρξη της πέμπτης κανονικής μορφής επειδή του έλειπε κάτι ενοποιητικό, που κάλυπτε ολόκληρο τον κόσμο. Ίσως γι' αυτό έδωσε εντολή σε έναν μαθητή (Teajtet) να την αναζητήσει. Όπως ήταν, έτσι έγινε, με βάση το οποίο ανακαλύφθηκε το δωδεκάεδρο. Αυτή τη στάση του Πλάτωνα ονομάζουμε πανθεϊσμό. Όλοι οι επιστήμονες, μέχρι τον Νεύτωνα, υπέκυψαν σε αυτό σε μικρότερο ή μεγαλύτερο βαθμό. Από τον εξαιρετικά ορθολογικό δέκατο όγδοο αιώνα, η επιρροή του έχει μειωθεί δραστικά, αν και δεν πρέπει να ντρεπόμαστε για το γεγονός ότι όλοι υποκύπτουμε σε αυτό με τον ένα ή τον άλλο τρόπο.

Στην ιδέα του Κέπλερ για την κατασκευή του ηλιακού συστήματος, όλα ήταν σωστά, τα πειραματικά δεδομένα συνέπιπταν με τη θεωρία, η θεωρία ήταν λογικά συνεκτική, πολύ όμορφη ... αλλά εντελώς ψευδής. Στην εποχή του ήταν γνωστοί μόνο έξι πλανήτες: ο Ερμής, η Αφροδίτη, η Γη, ο Άρης, ο Δίας και ο Κρόνος. Γιατί υπάρχουν μόνο έξι πλανήτες; ρώτησε ο Κέπλερ. Και ποια κανονικότητα καθορίζει την απόστασή τους από τον Ήλιο; Υπέθεσε ότι όλα συνδέονται, αυτό γεωμετρία και κοσμογονία συνδέονται στενά μεταξύ τους. Από τα γραπτά των αρχαίων Ελλήνων γνώριζε ότι υπήρχαν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα. Είδε ότι υπήρχαν πέντε κενά ανάμεσα στις έξι τροχιές. Μήπως λοιπόν καθένας από αυτούς τους ελεύθερους χώρους αντιστοιχεί σε κάποιο κανονικό πολύεδρο;

Μετά από αρκετά χρόνια παρατήρησης και θεωρητικής εργασίας, δημιούργησε την ακόλουθη θεωρία, με τη βοήθεια της οποίας υπολόγισε με ακρίβεια τις διαστάσεις των τροχιών, την οποία παρουσίασε στο βιβλίο «Mysterium Cosmographicum», που δημοσιεύτηκε το 1596: Imagine a giant sphere, η διάμετρος του οποίου είναι η διάμετρος της τροχιάς του Ερμή στην ετήσια κίνησή του γύρω από τον ήλιο. Τότε φανταστείτε ότι σε αυτή τη σφαίρα υπάρχει ένα κανονικό οκτάεδρο, πάνω της μια σφαίρα, πάνω της ένα εικοσάεδρο, πάνω της πάλι μια σφαίρα, πάνω της ένα δωδεκάεδρο, πάνω της μια άλλη σφαίρα, πάνω της ένα τετράεδρο, μετά πάλι μια σφαίρα, ένας κύβος και, τέλος, σε αυτόν τον κύβο περιγράφεται η μπάλα.

Ο Κέπλερ κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι διάμετροι αυτών των διαδοχικών σφαιρών ήταν οι διάμετροι των τροχιών άλλων πλανητών: του Ερμή, της Αφροδίτης, της Γης, του Άρη, του Δία και του Κρόνου. Η θεωρία φαινόταν πολύ ακριβής. Δυστυχώς, αυτό συνέπεσε με τα πειραματικά δεδομένα. Και ποια καλύτερη απόδειξη της ορθότητας μιας μαθηματικής θεωρίας από την αντιστοιχία της με πειραματικά δεδομένα ή δεδομένα παρατήρησης, ειδικά «παρμένα από τον ουρανό»; Συνοψίζω αυτούς τους υπολογισμούς στον Πίνακα 2. Τι έκανε λοιπόν ο Κέπλερ; Προσπάθησα και προσπάθησα μέχρι να τα καταφέρει, δηλαδή όταν η διαμόρφωση (σειρά σφαιρών) και οι υπολογισμοί που προέκυψαν συνέπεσαν με τα δεδομένα παρατήρησης. Εδώ είναι τα σύγχρονα αριθμητικά στοιχεία και οι υπολογισμοί του Kepler:

Μπορεί κανείς να υποκύψει στη γοητεία της θεωρίας και να πιστεύει ότι οι μετρήσεις στον ουρανό είναι ανακριβείς και όχι οι υπολογισμοί που γίνονται στη σιωπή του εργαστηρίου. Δυστυχώς, σήμερα γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον εννέα πλανήτες και ότι όλες οι συμπτώσεις των αποτελεσμάτων είναι απλώς μια σύμπτωση. Κρίμα. Ήταν τόσο όμορφα...