Lem, Tokarczuk, Κρακοβία, μαθηματικά

Στις 3-7 Σεπτεμβρίου 2019, πραγματοποιήθηκε στην Κρακοβία το επετειακό συνέδριο της Πολωνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Επέτειος, γιατί η εκατονταετηρίδα από την ίδρυση της Εταιρείας. Στη Γαλικία υπήρχε από τον 1ο χρόνο (χωρίς το επίθετο ότι ο πολωνικός φιλελευθερισμός του αυτοκράτορα FJ1919 είχε τα όριά του), αλλά ως πανεθνική οργάνωση λειτούργησε μόλις από το 1919. Οι σημαντικές πρόοδοι στα Πολωνικά μαθηματικά χρονολογούνται από τη δεκαετία του 1939 XNUMX-XNUMX. XNUMX στο Πανεπιστήμιο Jan Casimir στο Lviv, αλλά το συνέδριο δεν μπορούσε να πραγματοποιηθεί εκεί - και δεν είναι ούτε η καλύτερη ιδέα.

Η συνάντηση ήταν πολύ εορταστική, γεμάτη συνοδευτικά γεγονότα (συμπεριλαμβανομένης της παράστασης του Jacek Wojcicki στο κάστρο στο Niepolomice). Οι κύριες διαλέξεις έγιναν από 28 ομιλητές. Ήταν στα πολωνικά επειδή οι προσκεκλημένοι ήταν Πολωνοί - όχι απαραίτητα με την έννοια της υπηκοότητας, αλλά αναγνωρίζοντας τους εαυτούς τους ως Πολωνούς. Ω ναι, μόνο δεκατρείς διδάσκοντες προέρχονταν από πολωνικά επιστημονικά ιδρύματα, οι υπόλοιποι δεκαπέντε προέρχονταν από τις ΗΠΑ (7), τη Γαλλία (4), την Αγγλία (2), τη Γερμανία (1) και τον Καναδά (1). Λοιπόν, αυτό είναι ένα πολύ γνωστό φαινόμενο στα ποδοσφαιρικά πρωταθλήματα.

Οι καλύτεροι παίζουν συνεχώς στο εξωτερικό. Είναι λίγο λυπηρό, αλλά η ελευθερία είναι ελευθερία. Αρκετοί Πολωνοί μαθηματικοί έχουν κάνει σταδιοδρομίες στο εξωτερικό που είναι ανέφικτες στην Πολωνία. Τα χρήματα παίζουν δευτερεύοντα ρόλο εδώ, αλλά δεν θέλω να γράφω για τέτοια θέματα. Ίσως μόνο δύο σχόλια.

Στη Ρωσία, και πριν από αυτό στη Σοβιετική Ένωση, αυτό ήταν και είναι στο πιο συνειδητό επίπεδο ... και κατά κάποιο τρόπο κανείς δεν θέλει να μεταναστεύσει εκεί. Με τη σειρά τους, στη Γερμανία, περίπου δώδεκα υποψήφιοι υποβάλλουν αίτηση για καθηγητή σε οποιοδήποτε πανεπιστήμιο (συνάδελφοι από το Πανεπιστήμιο της Konstanz είπαν ότι είχαν 120 αιτήσεις σε ένα χρόνο, 50 από τις οποίες ήταν πολύ καλές και 20 ήταν άριστες).

Λίγες από τις διαλέξεις του Ιωβηλαίου Συνεδρίου μπορούν να συνοψιστούν στο μηνιαίο περιοδικό μας. Επικεφαλίδες όπως "Όρια αραιών γραφημάτων και οι εφαρμογές τους" ή "Γραμμική δομή και γεωμετρία υποχώρων και διαστήματα παραγόντων για κανονικοποιημένους χώρους υψηλών διαστάσεων" δεν θα πουν τίποτα στον μέσο αναγνώστη. Το δεύτερο θέμα εισήχθη από τον φίλο μου από τα πρώτα μαθήματα, Νικόλ Τομτσάκ.

Πριν από μερικά χρόνια, ήταν υποψήφια για το επίτευγμα που παρουσιάστηκε σε αυτή τη διάλεξη. Μετάλλιο Fields είναι το αντίστοιχο για τους μαθηματικούς. Μέχρι στιγμής, μόνο μία γυναίκα έχει λάβει αυτό το βραβείο. Αξίζει επίσης να σημειωθεί η διάλεξη Άννα Μαρτσινιάκ-Χόχρα (Πανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργης) «Ο ρόλος των μηχανιστικών μαθηματικών μοντέλων στην ιατρική στο παράδειγμα της μοντελοποίησης λευχαιμίας».

μπήκε στην ιατρική. Στο Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, μια ομάδα με επικεφαλής τον Prof. Jerzy Tyurin.

Ο τίτλος της διάλεξης θα είναι ακατανόητος στους αναγνώστες Βεσλάβα Νιζιόλ (z prestiżowej Ανώτερη Παιδαγωγική Σχολή) "-θεωρία adic Hodge". Ωστόσο, είναι αυτή η διάλεξη που αποφάσισα να συζητήσω εδώ.

Γεωμετρία - adic κόσμοι

Ξεκινά με απλά μικρά πράγματα. Θυμάσαι, Αναγνώστη, τη μέθοδο της γραπτής ανταλλαγής; Οπωσδηποτε. Σκεφτείτε τα ανέμελα χρόνια του δημοτικού. Διαιρέστε το 125051 με το 23 (αυτή είναι η ενέργεια στα αριστερά). Γνωρίζετε ότι μπορεί να είναι διαφορετικό (ενέργεια στα δεξιά);

Αυτή η νέα μέθοδος είναι ενδιαφέρουσα. Πάω από το τέλος. Πρέπει να διαιρέσουμε το 125051 με το 23. Τι χρειαζόμαστε για να πολλαπλασιάσουμε το 23 με ώστε το τελευταίο ψηφίο να είναι 1; Ψάχνοντας στη μνήμη και έχουμε :=7. Το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος είναι 7. Πολλαπλασιάστε, αφαιρέστε, παίρνουμε 489. Πώς πολλαπλασιάζετε το 23 για να καταλήξετε στο 9; Φυσικά κατά 3. Φτάνουμε στο σημείο να προσδιορίζουμε όλους τους αριθμούς του αποτελέσματος. Το βρίσκουμε μη πρακτικό και πιο δύσκολο από τη συνηθισμένη μας μέθοδο - αλλά είναι θέμα εξάσκησης!

Τα πράγματα παίρνουν διαφορετική τροπή όταν ο γενναίος δεν χωρίζεται εντελώς από τον διαιρέτη. Ας κάνουμε τη διαίρεση και ας δούμε τι θα γίνει.

Στα αριστερά είναι μια τυπική σχολική πίστα. Δεξιά είναι «οι περίεργοι μας».

Μπορούμε να ελέγξουμε και τα δύο αποτελέσματα πολλαπλασιάζοντας. Καταλαβαίνουμε το πρώτο: το ένα τρίτο του αριθμού 4675 είναι χίλια πεντακόσια πενήντα οκτώ και τρία στην περίοδο. Το δεύτερο δεν έχει νόημα: ποιος είναι αυτός ο αριθμός πριν από έναν άπειρο αριθμό έξι και μετά το 8225;

Ας αφήσουμε για λίγο το ζήτημα του νοήματος. Ας παίξουμε. Ας διαιρέσουμε λοιπόν το 1 με το 3 και μετά το 1 με το 7 που είναι ένα τρίτο και ένα έβδομο. Μπορούμε εύκολα να πάρουμε:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Αυτή η τελευταία γραμμή σημαίνει: το μπλοκ 285714 επαναλαμβάνεται επ 'αόριστον στην αρχή, και τελικά υπάρχουν τρία από αυτά. Για όσους δεν πιστεύουν, εδώ είναι ένα τεστ:

Τώρα ας προσθέσουμε κλάσματα:

Στη συνέχεια αθροίζουμε τους ληφθέντες περίεργους αριθμούς, και παίρνουμε (ελέγξουμε) τον ίδιο περίεργο αριθμό.

......95238095238095238095238010

Μπορούμε να ελέγξουμε ότι αυτό είναι ίσο με

Η ουσία δεν έχει φανεί ακόμη, αλλά η αριθμητική είναι σωστή.

Ένα ακόμη παράδειγμα.

Ο συνηθισμένος, αν και μεγάλος, αριθμός 40081787109376 έχει μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα: το τετράγωνό του τελειώνει επίσης στο 40081787109376. αριθμός x40081787109376, που είναι ( x40081787109376)² τελειώνει επίσης σε x40081787109376.

Υπόδειξη. Έχουμε 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, άρα το επόμενο ψηφίο είναι το συμπλήρωμα τριών προς δέκα, που είναι 7. Ας ελέγξουμε: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Το ερώτημα γιατί συμβαίνει αυτό είναι δύσκολο. Είναι πιο εύκολο: βρείτε παρόμοιες καταλήξεις για αριθμούς που τελειώνουν σε 5. Συνεχίζοντας τη διαδικασία εύρεσης των επόμενων ψηφίων επ' αόριστον, θα καταλήξουμε σε τέτοιους «αριθμούς» που ²=²= (και κανένας από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι ίσος με μηδέν ή ένα).

καταλαβαίνουμε καλά. Όσο πιο μακριά μετά την υποδιαστολή, τόσο λιγότερο σημαντικός είναι ο αριθμός. Στους υπολογισμούς μηχανικής, το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή είναι σημαντικό, καθώς και το δεύτερο, αλλά σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να υποτεθεί ότι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι 3,14. Φυσικά, πρέπει να συμπεριληφθούν περισσότεροι αριθμοί στον κλάδο των αερομεταφορών, αλλά δεν νομίζω ότι θα είναι περισσότεροι από δέκα.

Το όνομα εμφανίστηκε στον τίτλο του άρθρου Ο Στάνισλαβ Λεμ (1921-2006), καθώς και ο νέος μας νομπελίστας. Κυρία Όλγα Τοκάρτσουκ Το ανέφερα μόνο γιατί ουρλιάζοντας αδικίαΓεγονός είναι ότι ο Στάνισλαβ Λεμ δεν έλαβε το Νόμπελ Λογοτεχνίας. Αλλά δεν είναι στη γωνιά μας.

Ο Λεμ προέβλεψε συχνά το μέλλον. Αναρωτήθηκε τι θα γινόταν όταν ανεξαρτητοποιούνταν από τους ανθρώπους. Πόσες ταινίες με αυτό το θέμα έχουν εμφανιστεί τελευταία! Ο Lem προέβλεψε και περιέγραψε με ακρίβεια τον οπτικό αναγνώστη και τη φαρμακολογία του μέλλοντος.

Ήξερε μαθηματικά, αν και μερικές φορές τα αντιμετώπιζε ως στολίδι, αδιαφορώντας για την ορθότητα των υπολογισμών. Για παράδειγμα, στην ιστορία "Trial", ο πιλότος Pirks πηγαίνει στην τροχιά B68 με περίοδο περιστροφής 4 ώρες 29 λεπτά και η οδηγία είναι 4 ώρες 26 λεπτά. Θυμάται ότι υπολόγισαν με σφάλμα 0,3 τοις εκατό. Δίνει τα δεδομένα στην Αριθμομηχανή και η αριθμομηχανή απαντά ότι όλα είναι καλά... Λοιπόν, όχι. Τα τρία δέκατα του τοις εκατό των 266 λεπτών είναι λιγότερο από ένα λεπτό. Αλλάζει κάτι όμως αυτό το σφάλμα; Ίσως ήταν επίτηδες;

Γιατί γράφω για αυτό; Πολλοί μαθηματικοί έχουν επίσης θέσει αυτό το ερώτημα: φανταστείτε μια κοινότητα. Δεν έχουν το ανθρώπινο μυαλό μας. Για εμάς, τα 1609,12134 και 1609,23245 είναι πολύ κοντινοί αριθμοί - καλές προσεγγίσεις στο αγγλικό μίλι. Ωστόσο, οι υπολογιστές ενδέχεται να θεωρούν ότι οι αριθμοί 468146123456123456 και 9999999123456123456 είναι κοντινοί. Έχουν τις ίδιες δωδεκαψήφιες καταλήξεις.

Όσο πιο κοινά ψηφία στο τέλος, τόσο πιο κοντά είναι οι αριθμοί. Και αυτό οδηγεί στη λεγόμενη απόσταση -adic. Έστω p ίσο με 10 για μια στιγμή. γιατί "για λίγο", θα εξηγήσω ... τώρα. Η απόσταση των 10 πόντων των αριθμών που γράφτηκαν παραπάνω είναι 

ή ένα εκατομμυριοστό - επειδή αυτοί οι αριθμοί έχουν έξι κοινά ψηφία στο τέλος. Όλοι οι ακέραιοι διαφέρουν από το μηδέν κατά ένα ή λιγότερο. Δεν θα γράψω καν πρότυπο γιατί δεν πειράζει. Όσο περισσότεροι είναι οι ίδιοι αριθμοί στο τέλος, τόσο πιο κοντά είναι οι αριθμοί (για ένα άτομο, αντίθετα, θεωρούνται οι αρχικοί αριθμοί). Είναι σημαντικό το p να είναι πρώτος αριθμός.

Στη συνέχεια - τους αρέσουν τα μηδενικά και τα μονά, έτσι βλέπουν τα πάντα σε αυτά τα μοτίβα: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

Στο μυθιστόρημα Glos Pana, ο Stanisław Lem προσλαμβάνει επιστήμονες για να προσπαθήσουν να διαβάσουν ένα μήνυμα που στάλθηκε από τη μετά θάνατον ζωή, με κωδικό μηδέν-ένα φυσικά. Μας γράφει κανείς; Ο Λεμ υποστηρίζει ότι «κάθε μήνυμα μπορεί να διαβαστεί αν είναι μήνυμα ότι κάποιος ήθελε να μας πει κάτι». Είναι όμως; Θα αφήσω τους αναγνώστες με αυτό το δίλημμα.

Ζούμε στον τρισδιάστατο χώρο R³. Γράμμα R υπενθυμίζει ότι οι άξονες αποτελούνται από πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή ακέραιους, αρνητικούς και θετικούς, μηδενικούς, ορθολογικούς (δηλαδή κλάσματα) και παράλογους, που οι αναγνώστες συνάντησαν στο σχολείο (), και αριθμούς γνωστούς ως υπερβατικούς αριθμούς, απρόσιτους στην άλγεβρα (αυτός είναι ο αριθμός π , που συνδέει τη διάμετρο ενός κύκλου με την περιφέρειά του για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια).

Τι κι αν οι άξονες του χώρου μας ήταν -αδικοί αριθμοί;

Jerzy Mioduszowski, ένας μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Σιλεσίας, υποστηρίζει ότι αυτό θα μπορούσε να είναι έτσι, ακόμη και ότι θα μπορούσε να είναι έτσι. Μπορούμε (λέει ο Jerzy Mioduszewski) να καταλάβουμε την ίδια θέση στο χώρο με τέτοια όντα, χωρίς να παρεμβαίνουμε και χωρίς να βλέπουμε ο ένας τον άλλον.

Έτσι, έχουμε όλη τη γεωμετρία του κόσμου «τους» να εξερευνήσουμε. Είναι απίθανο «αυτοί» να σκέφτονται με τον ίδιο τρόπο για εμάς και να μελετούν επίσης τη γεωμετρία μας, γιατί η δική μας είναι μια οριακή περίπτωση όλων των κόσμων «τους». «Αυτοί», δηλαδή όλοι οι κολασμένοι κόσμοι, όπου είναι πρώτοι αριθμοί. Συγκεκριμένα, = 2 και αυτός ο συναρπαστικός κόσμος του μηδέν-ένα ...

Εδώ ο αναγνώστης του άρθρου μπορεί να θυμώσει ή και να θυμώσει. «Είναι αυτό το είδος ανοησίας που κάνουν οι μαθηματικοί;» Φαντάζονται να πίνουν βότκα μετά το δείπνο, με τα λεφτά μου (=φορολογούμενου). Και διασκορπίστε τους σε τέσσερις ανέμους, αφήστε τους να πάνε στα κρατικά αγροκτήματα ... αχ, δεν υπάρχουν πια κρατικές φάρμες!

Χαλαρώστε. είχαν πάντα μια τάση για τέτοια αστεία. Επιτρέψτε μου να αναφέρω μόνο το θεώρημα του σάντουιτς: αν έχω ένα σάντουιτς με τυρί και ζαμπόν, μπορώ να το κόψω σε μία κοπή για να μειώσει στο μισό το τσουρέκι, το ζαμπόν και το τυρί. Αυτό είναι άχρηστο στην πράξη. Το θέμα είναι ότι αυτό είναι απλώς μια παιχνιδιάρικη εφαρμογή ενός ενδιαφέροντος γενικού θεωρήματος από τη συναρτησιακή ανάλυση.

Πόσο σοβαρό είναι να ασχολείσαι με τους -adic αριθμούς και τη σχετική γεωμετρία; Επιτρέψτε μου να υπενθυμίσω στον αναγνώστη ότι οι ορθολογικοί αριθμοί (απλουστευτικά: κλάσματα) βρίσκονται πυκνά στη γραμμή, αλλά δεν τη γεμίζουν στενά.

Οι παράλογοι αριθμοί ζουν σε «τρύπες». Είναι πολλά, άπειρα πολλά από αυτά, αλλά μπορείς επίσης να πεις ότι το άπειρό τους είναι μεγαλύτερο από αυτό των απλούστερων, στα οποία μετράμε: ένα, δύο, τρία, τέσσερα ... και ούτω καθεξής μέχρι το ∞. Αυτό είναι το ανθρώπινο γέμισμα των «τρυπών» μας. Έχουμε κληρονομήσει αυτή τη νοητική δομή από Πυθαγόρειοι. 

Αυτό όμως που είναι ενδιαφέρον και σημαντικό για έναν μαθηματικό είναι ότι δεν μπορεί κανείς να «γεμίσει» αυτές τις τρύπες με παράλογους και p-adic αριθμούς (για όλους τους πρώτους p). Για όσους αναγνώστες το καταλαβαίνουν αυτό (και αυτό διδασκόταν σε κάθε λύκειο πριν από τριάντα χρόνια), το θέμα είναι ότι κάθε ακολουθία που ικανοποιεί κατάσταση του Cauchy, συγκλίνει.

Ένας χώρος στον οποίο αυτό ισχύει ονομάζεται πλήρες («δεν λείπει τίποτα»). Θα θυμάμαι τον αριθμό 547721051611007740081787109376.

Η ακολουθία 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 και ούτω καθεξής συγκλίνει σε ένα ορισμένο όριο, το οποίο είναι περίπου 0,5477210516110077400 81787109376.

Ωστόσο, από την άποψη της απόστασης των 10, η ακολουθία των αριθμών 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 και ούτω καθεξής συγκλίνει επίσης στον "παράξενο" αριθμό ...

Αλλά ακόμη και αυτός μπορεί να μην είναι αρκετός λόγος για να δοθούν στους επιστήμονες δημόσιο χρήμα. Γενικά, εμείς (οι μαθηματικοί) υπερασπιζόμαστε τον εαυτό μας λέγοντας ότι είναι αδύνατο να προβλέψουμε σε τι θα είναι χρήσιμη η έρευνά μας. Είναι σχεδόν βέβαιο ότι όλοι θα είναι χρήσιμοι και ότι μόνο η δράση σε ένα ευρύ μέτωπο έχει πιθανότητες επιτυχίας.

Μία από τις μεγαλύτερες εφευρέσεις, το μηχάνημα ακτίνων Χ, δημιουργήθηκε μετά την τυχαία ανακάλυψη της ραδιενέργειας Μπεκερέλ. Αν δεν γινόταν αυτή η περίπτωση, η πολυετής έρευνα μάλλον θα ήταν άχρηστη. «Ψάχνουμε τρόπο να κάνουμε ακτινογραφία του ανθρώπινου σώματος».

Τέλος, το πιο σημαντικό. Όλοι συμφωνούν ότι παίζει ρόλο η ικανότητα επίλυσης εξισώσεων. Και εδώ οι περίεργοι αριθμοί μας προστατεύονται καλά. Το αντίστοιχο θεώρημα (Μισώ τον Minkowski) λέει ότι ορισμένες εξισώσεις μπορούν να λυθούν σε ρητούς αριθμούς εάν και μόνο εάν έχουν πραγματικές ρίζες και ρίζες σε κάθε αδικό σώμα.

Λίγο-πολύ αυτή η προσέγγιση έχει παρουσιαστεί Άντριου Γουάιλς, που έλυσε την πιο διάσημη μαθηματική εξίσωση των τελευταίων τριακοσίων ετών - συνιστώ στους αναγνώστες να την εισάγουν σε μια μηχανή αναζήτησης "Το τελευταίο θεώρημα του Fermat".