αντίστροφη γοητεία

Γίνεται πολύς λόγος για την «ομορφιά των αντιθέτων», και όχι μόνο στα μαθηματικά. Θυμηθείτε ότι αντίθετοι αριθμοί είναι αυτοί που διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο: συν 7 και μείον 7. Το άθροισμα των αντίθετων αριθμών είναι μηδέν. Αλλά για εμάς (δηλαδή τους μαθηματικούς) οι αντίστροφοι αριθμοί είναι πιο ενδιαφέροντες. Αν το γινόμενο των αριθμών είναι ίσο με 1, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι αντίστροφοι μεταξύ τους. Κάθε αριθμός έχει το αντίθετό του, κάθε μη μηδενικός αριθμός έχει το αντίστροφό του. Το αντίστροφο του αντίστροφου είναι ο σπόρος.

Η αντιστροφή συμβαίνει όπου δύο ποσότητες σχετίζονται μεταξύ τους, έτσι ώστε αν η μία αυξάνεται, η άλλη μειώνεται με αντίστοιχο ρυθμό. «Αντίστοιχο» σημαίνει ότι το γινόμενο αυτών των ποσοτήτων δεν αλλάζει. Θυμόμαστε από το σχολείο: αυτό είναι αντιστρόφως αναλογικό. Αν θέλω να φτάσω στον προορισμό μου στο μισό χρόνο (δηλαδή να κόψω το χρόνο στο μισό), πρέπει να διπλασιάσω την ταχύτητά μου. Εάν μειώσετε τον όγκο ενός σφραγισμένου δοχείου με αέριο κατά n φορές, τότε η πίεσή του θα αυξηθεί κατά n φορές.

Στη δημοτική διακρίνουμε προσεκτικά τις διαφορικές και τις σχετικές συγκρίσεις. "Πόσο περισσότερο"? – «Πόσες φορές περισσότερο;»

Ακολουθούν ορισμένες σχολικές εκδηλώσεις:

Εργασία 1. Από δύο θετικές ποσότητες, η πρώτη είναι 5 φορές μεγαλύτερη από τη δεύτερη και ταυτόχρονα 5 φορές μεγαλύτερη από την πρώτη. Ποιες είναι οι διαστάσεις;

Εργασία 2. Αν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο κατά 3 και ο δεύτερος μεγαλύτερος από τον τρίτο κατά 2, τότε πόσο μεγαλύτερος είναι ο πρώτος αριθμός από τον τρίτο; Εάν ο πρώτος θετικός αριθμός είναι διπλάσιος του δεύτερου και ο πρώτος αριθμός είναι τριπλάσιος του τρίτου, τότε πόσες φορές ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον τρίτο;

Εργασία 3. Στην εργασία 2, επιτρέπονται μόνο φυσικοί αριθμοί. Είναι δυνατή μια ρύθμιση όπως περιγράφεται εκεί;

Εργασία 4. Από δύο θετικές ποσότητες, η πρώτη είναι 5 φορές μεγαλύτερη από τη δεύτερη και η δεύτερη είναι 5 φορές μεγαλύτερη από την πρώτη. Είναι δυνατόν?

Η έννοια του «μέσου» ή του «μέσου» φαίνεται πολύ απλή. Αν ποδηλάτισα 55 χλμ τη Δευτέρα, 45 χλμ την Τρίτη και 80 χλμ την Τετάρτη, έκανα κατά μέσο όρο 60 χλμ με το ποδήλατό μου την ημέρα. Συμφωνούμε ολόψυχα με αυτούς τους υπολογισμούς, αν και είναι λίγο περίεργοι γιατί δεν έχω διανύσει ποτέ 60 χιλιόμετρα σε μια μέρα. Δεχόμαστε επίσης εύκολα τις μετοχές ενός ατόμου: αν διακόσια άτομα επισκεφτούν ένα εστιατόριο εντός έξι ημερών, τότε η μέση ημερήσια τιμή είναι 33 και ένα τρίτο άτομα. Χμ!

Υπάρχουν προβλήματα μόνο με το μέσο μέγεθος. Μου αρέσει η ποδηλασία. Εκμεταλλεύτηκα λοιπόν την προσφορά του ταξιδιωτικού γραφείου "Let's go with us" - παραδίδουν αποσκευές στο ξενοδοχείο, όπου ο πελάτης κάνει ποδήλατο για ψυχαγωγικούς σκοπούς. Την Παρασκευή οδήγησα τέσσερις ώρες: οι δύο πρώτες με ταχύτητα 24 χλμ. την ώρα. Μετά κουράστηκα τόσο πολύ που για τα επόμενα δύο με ρυθμό μόνο 16 την ώρα. Ποια ήταν η μέση ταχύτητά μου; Φυσικά (24+16)/2=20km=20km/h.

Το Σάββατο, όμως, οι αποσκευές έμειναν στο ξενοδοχείο, και πήγα να δω τα ερείπια του κάστρου, 24 χλμ., και αφού τα είδα, επέστρεψα. Οδήγησα για μια ώρα προς μία κατεύθυνση και επέστρεψα πιο αργά, με ταχύτητα 16 χλμ. την ώρα. Ποια ήταν η μέση ταχύτητά μου στη διαδρομή ξενοδοχείο-κάστρο-ξενοδοχείο; 20 χλμ την ώρα; Φυσικά και όχι. Άλλωστε, οδήγησα συνολικά 48 χλμ. και μου πήρε μια ώρα («εκεί») και μιάμιση ώρα πίσω. 48 χλμ σε δυόμιση ώρες, δηλ. ώρα 48/2,5=192/10=19,2 χλμ! Σε αυτήν την περίπτωση, η μέση ταχύτητα δεν είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, αλλά μια αρμονική των δεδομένων τιμών:

και αυτός ο διώροφος τύπος μπορεί να διαβαστεί ως εξής: ο αρμονικός μέσος όρος των θετικών αριθμών είναι ο αντίστροφος του αριθμητικού μέσου όρου του αντίστροφου τους. Το αντίστροφο του αθροίσματος των αντιστροφών εμφανίζεται σε πολλές χορωδίες σχολικών εργασιών: αν ο ένας εργάτης σκάβει για ώρες, ο άλλος για β ώρες, τότε, δουλεύοντας μαζί, σκάβουν στην ώρα τους. πισίνα με νερό (μία την ώρα, άλλη στις έξι ώρες). Εάν η μία αντίσταση έχει R1 και η άλλη έχει R2, τότε έχουν παράλληλη αντίσταση. 

Εάν ένας υπολογιστής μπορεί να λύσει ένα πρόβλημα σε δευτερόλεπτα, ένας άλλος υπολογιστής σε β δευτερόλεπτα, τότε όταν συνεργάζονται...

Να σταματήσει! Εδώ τελειώνει η αναλογία, γιατί όλα εξαρτώνται από την ταχύτητα του δικτύου: την αποτελεσματικότητα των συνδέσεων. Οι εργαζόμενοι μπορούν επίσης να εμποδίσουν ή να βοηθήσουν ο ένας τον άλλον. Εάν ένα άτομο μπορεί να σκάψει ένα πηγάδι σε οκτώ ώρες, μπορούν ογδόντα εργάτες να το κάνουν σε 1/10 της ώρας (ή 6 λεπτά); Εάν έξι αχθοφόροι παραδώσουν ένα πιάνο στον πρώτο όροφο σε 6 λεπτά, πόσο καιρό θα χρειαστεί ένας από αυτούς για να παραδώσει το πιάνο στον εξήντα όροφο; Ο παραλογισμός τέτοιων προβλημάτων μας κάνει να θυμόμαστε την περιορισμένη δυνατότητα εφαρμογής όλων των μαθηματικών σε προβλήματα «πραγματικής ζωής».

Αγαπητέ πωλητή 

Η ζυγαριά δεν χρησιμοποιείται πλέον. Θυμηθείτε ότι ένα βάρος τοποθετούνταν σε ένα μπολ από τέτοια ζυγαριά και τα αγαθά που ζυγίζονταν τοποθετούνταν στην άλλη, και όταν το βάρος ήταν σε ισορροπία, τότε τα αγαθά ζύγιζαν όσο και το βάρος. Φυσικά, και οι δύο βραχίονες του φορτίου βάρους πρέπει να έχουν το ίδιο μήκος, διαφορετικά η ζύγιση θα είναι λανθασμένη.

Σωστά. Φανταστείτε έναν πωλητή που έχει βάρος με άνισους ώμους. Ωστόσο, θέλει να είναι ειλικρινής με τους πελάτες και ζυγίζει τα εμπορεύματα σε δύο παρτίδες. Αρχικά, τοποθετεί ένα βάρος στο ένα ταψί και αντίστοιχη ποσότητα αγαθών στο άλλο, ώστε η ζυγαριά να είναι σε ισορροπία. Στη συνέχεια ζυγίζει το δεύτερο «μισό» των εμπορευμάτων με αντίστροφη σειρά, δηλαδή τοποθετεί το βάρος στο δεύτερο ταψί και το εμπόρευμα στο πρώτο. Δεδομένου ότι τα χέρια είναι άνισα, τα μισά δεν είναι ποτέ ίσα. Και ο πωλητής έχει ήσυχη τη συνείδησή του και οι αγοραστές επαινούν την ειλικρίνειά του: "ό,τι αφαίρεσε εδώ, το πρόσθεσε αργότερα".

Ωστόσο, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στη συμπεριφορά ενός πωλητή που θέλει να είναι ειλικρινής παρά το επισφαλές βάρος. Έστω οι βραχίονες του ζυγού να έχουν μήκη a και b. Εάν ένα από τα μπολ είναι φορτωμένο με ένα κιλό βάρος και το άλλο με x αγαθά, τότε η ζυγαριά βρίσκεται σε ισορροπία εάν ax = b την πρώτη φορά και bx = a τη δεύτερη φορά. Έτσι, το πρώτο μέρος των αγαθών είναι ίσο με b / a kg, το δεύτερο μέρος είναι a / b. Το καλό βάρος έχει a = b, οπότε ο αγοραστής θα λάβει 2 κιλά αγαθών. Ας δούμε τι συμβαίνει όταν a ≠ b. Τότε a – b ≠ 0 και από τον ανηγμένο τύπο πολλαπλασιασμού έχουμε

Καταλήξαμε σε ένα απροσδόκητο αποτέλεσμα: η φαινομενικά δίκαιη μέθοδος μέτρησης «μέσου όρου» σε αυτή την περίπτωση λειτουργεί προς όφελος του αγοραστή, ο οποίος λαμβάνει περισσότερα αγαθά.

Εργασία 5. (Σημαντικό, καθόλου στα μαθηματικά!). Ένα κουνούπι ζυγίζει 2,5 χιλιοστόγραμμα και ένας ελέφαντας πέντε τόνους (αυτά είναι αρκετά σωστά δεδομένα). Υπολογίστε τον αριθμητικό, γεωμετρικό και αρμονικό μέσο όρο των μαζών (βαρών) του κουνουπιού και του ελέφαντα. Ελέγξτε τους υπολογισμούς και δείτε αν έχουν νόημα πέρα ​​από τις αριθμητικές ασκήσεις. Ας δούμε άλλα παραδείγματα μαθηματικών υπολογισμών που δεν έχουν νόημα στην «πραγματική ζωή». Συμβουλή: Έχουμε ήδη εξετάσει ένα παράδειγμα σε αυτό το άρθρο. Αυτό σημαίνει ότι ο ανώνυμος μαθητής του οποίου η γνώμη βρήκα στο Διαδίκτυο είχε δίκιο: «Τα μαθηματικά κοροϊδεύουν τους ανθρώπους με τους αριθμούς»;

Ναι, συμφωνώ ότι στο μεγαλείο των μαθηματικών, μπορείς να «ξεγελάσεις» τους ανθρώπους - κάθε δεύτερη διαφήμιση σαμπουάν λέει ότι αυξάνει το χνούδι κατά κάποιο ποσοστό. Να αναζητήσουμε άλλα παραδείγματα χρήσιμων καθημερινών εργαλείων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για εγκληματικές δραστηριότητες;

γραμμάρια!

Ο τίτλος αυτού του αποσπάσματος είναι ρήμα (πρώτο πληθυντικό πρόσωπο) παρά ουσιαστικό (ονομαστική πληθυντικού του χιλιοστού του κιλού). Η αρμονία προϋποθέτει τάξη και μουσική. Για τους αρχαίους Έλληνες, η μουσική ήταν κλάδος της επιστήμης - ομολογουμένως, αν το πούμε αυτό, μεταφέρουμε τη σημερινή σημασία της λέξης «επιστήμη» στην εποχή πριν από την εποχή μας. Ο Πυθαγόρας έζησε τον XNUMX αιώνα π.Χ. Όχι μόνο δεν ήξερε υπολογιστή, κινητό τηλέφωνο και email, αλλά δεν ήξερε επίσης ποιοι ήταν ο Robert Lewandowski, ο Mieszko I, ο Charlemagne και ο Cicero. Δεν ήξερε αραβικούς ή και ρωμαϊκούς αριθμούς (ήρθαν σε χρήση γύρω στον XNUMXο αιώνα π.Χ.), δεν ήξερε τι ήταν οι Punic Wars... Ήξερε όμως μουσική...

Ήξερε ότι στα έγχορδα όργανα οι συντελεστές δόνησης είναι αντιστρόφως ανάλογοι με το μήκος των δονούμενων μερών των χορδών. Ήξερε, ήξερε, απλά δεν μπορούσε να το εκφράσει όπως το κάνουμε σήμερα.

Οι συχνότητες των δύο δονήσεων χορδών που συνθέτουν μια οκτάβα είναι σε αναλογία 1:2, δηλαδή η συχνότητα της υψηλότερης νότας είναι διπλάσια από τη συχνότητα της κάτω. Η σωστή αναλογία κραδασμών για την πέμπτη είναι 2:3, η τέταρτη είναι 3:4, η καθαρή μείζονα τρίτη είναι 4:5, η δευτερεύουσα τρίτη είναι 5:6. Αυτά είναι ευχάριστα διαστήματα σύμφωνα. Έπειτα, υπάρχουν δύο ουδέτερα, με αναλογίες κραδασμών 6:7 και 7:8, μετά ασύμφωνα - ένας μεγάλος τόνος (8:9), ένας μικρός τόνος (9:10). Αυτά τα κλάσματα (λόγοι) είναι σαν τους λόγους των διαδοχικών μελών μιας ακολουθίας που οι μαθηματικοί (για αυτόν ακριβώς τον λόγο) ονομάζουν αρμονική σειρά:

είναι ένα θεωρητικά άπειρο άθροισμα. Η αναλογία των ταλαντώσεων της οκτάβας μπορεί να γραφτεί ως 2:4 και να βάλουμε ένα πέμπτο μεταξύ τους: 2:3:4, δηλαδή θα χωρίσουμε την οκτάβα σε πέμπτη και τέταρτη. Αυτό ονομάζεται διαίρεση αρμονικού τμήματος στα μαθηματικά:

Ρύζι. 1. Για μουσικό: διαίρεση της οκτάβας ΑΒ με το πέμπτο AC.Για τον μαθηματικό: αρμονική κατάτμηση

Τι εννοώ όταν μιλάω (παραπάνω) για ένα θεωρητικά άπειρο άθροισμα, όπως μια αρμονική σειρά; Αποδεικνύεται ότι ένα τέτοιο άθροισμα μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μεγάλος αριθμός, το κύριο πράγμα είναι ότι προσθέτουμε αρκετό καιρό. Τα συστατικά γίνονται όλο και λιγότερα, αλλά υπάρχουν όλο και περισσότερα. Τι υπερισχύει; Εδώ μπαίνουμε στο πεδίο της μαθηματικής ανάλυσης. Αποδεικνύεται ότι τα συστατικά εξαντλούνται, αλλά όχι πολύ γρήγορα. Θα δείξω ότι, έχοντας αρκετά συστατικά, μπορώ να κάνω ένα άθροισμα:

αυθαίρετα μεγάλο. Ας πάρουμε ως παράδειγμα n = 1024. Ας ομαδοποιήσουμε τις λέξεις όπως φαίνεται στο σχήμα:

Σε κάθε παρένθεση, κάθε λέξη είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη, εκτός φυσικά από την τελευταία που είναι ίση με τον εαυτό της. Στις ακόλουθες αγκύλες έχουμε 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 και 512 συστατικά. η τιμή του αθροίσματος σε κάθε παρένθεση είναι μεγαλύτερη από ½. Όλα αυτά είναι περισσότερα από 5½. Πιο ακριβείς υπολογισμοί θα έδειχναν ότι αυτό το ποσό είναι περίπου 7,50918. Όχι πολύ, αλλά πάντα, και μπορείτε να δείτε ότι παίρνοντας n οποιοδήποτε μεγάλο, μπορώ να νικήσω οποιονδήποτε αριθμό. Αυτή η απίστευτα αργή (για παράδειγμα, ξεπερνάμε τα δέκα μόνο με συστατικά) αλλά η ατελείωτη ανάπτυξη πάντα γοήτευε τους μαθηματικούς.

Ταξίδι στο άπειρο με αρμονική σειρά

Εδώ είναι ένας γρίφος για αρκετά σοβαρά μαθηματικά. Έχουμε απεριόριστη προσφορά ορθογώνιων μπλοκ (τι λέω, ορθογώνια!) με διαστάσεις, ας πούμε, 4 × 2 × 1. Σκεφτείτε ένα σύστημα που αποτελείται από πολλά (στο Σύκο. 2 - τέσσερα) μπλοκ, διατεταγμένα έτσι ώστε το πρώτο να έχει κλίση κατά το ½ του μήκους του, το δεύτερο από πάνω κατά ¼ και ούτω καθεξής, το τρίτο κατά το ένα έκτο. Λοιπόν, ίσως για να το κάνουμε πραγματικά σταθερό, ας γείρουμε το πρώτο τούβλο λίγο λιγότερο. Δεν έχει σημασία για τους υπολογισμούς.

Ρύζι. 2. Προσδιορισμός του κέντρου βάρους

Είναι επίσης εύκολο να γίνει κατανοητό ότι εφόσον το σχήμα που αποτελείται από τα δύο πρώτα μπλοκ (μετρώντας από πάνω) έχει κέντρο συμμετρίας στο σημείο Β, τότε το Β είναι το κέντρο βάρους. Ας προσδιορίσουμε γεωμετρικά το κέντρο βάρους ενός συστήματος που αποτελείται από τρία ανώτερα μπλοκ. Εδώ αρκεί ένα πολύ απλό επιχείρημα. Ας χωρίσουμε νοερά τη σύνθεση των τριών μπλοκ σε δύο επάνω και σε ένα τρίτο κάτω. Αυτό το κέντρο πρέπει να βρίσκεται στο τμήμα που συνδέει τα κέντρα βάρους των δύο τμημάτων. Σε ποιο σημείο αυτού του επεισοδίου;

Υπάρχουν δύο τρόποι χαρακτηρισμού. Στην πρώτη, θα χρησιμοποιήσουμε την παρατήρηση ότι αυτό το κέντρο πρέπει να βρίσκεται στο μέσο της πυραμίδας των τριών μπλοκ, δηλαδή στην ευθεία γραμμή που τέμνει το δεύτερο, μεσαίο μπλοκ. Στη δεύτερη μέθοδο, συνειδητοποιούμε ότι εφόσον τα δύο κορυφαία μπλοκ έχουν συνολική μάζα διπλάσια από αυτή του απλού μπλοκ #3 (παραπάνω), το κέντρο βάρους σε αυτό το τμήμα πρέπει να είναι δύο φορές πιο κοντά στο Β από το κέντρο S του τρίτου ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ. Ομοίως, βρίσκουμε το επόμενο σημείο: συνδέουμε το κέντρο που βρέθηκε των τριών μπλοκ με το κέντρο S του τέταρτου μπλοκ. Το κέντρο ολόκληρου του συστήματος βρίσκεται στο ύψος 2 και στο σημείο που διαιρεί το τμήμα με το 1 προς το 3 (δηλαδή κατά τα ¾ του μήκους του).

Οι υπολογισμοί που θα κάνουμε λίγο πιο πέρα ​​οδηγούν στο αποτέλεσμα που φαίνεται στο Σχ. Εικ. 3. Τα διαδοχικά κέντρα βάρους αφαιρούνται από τη δεξιά άκρη του κάτω τμήματος με:

Έτσι, η προβολή του κέντρου βάρους της πυραμίδας βρίσκεται πάντα εντός της βάσης. Ο πύργος δεν θα γκρεμιστεί. Τώρα ας δούμε Σύκο. 3 και για μια στιγμή ας χρησιμοποιήσουμε το πέμπτο μπλοκ από πάνω ως βάση (αυτό που σημειώνεται με πιο φωτεινό χρώμα). Κλίση επάνω:

Έτσι η αριστερή του άκρη είναι 1 πιο μακριά από τη δεξιά άκρη της βάσης. Εδώ είναι η επόμενη ταλάντευση:

Ποια είναι η μεγαλύτερη ταλάντευση; Ξέρουμε ήδη! Δεν υπάρχει μεγαλύτερο! Λαμβάνοντας ακόμη και τα πιο μικρά τετράγωνα, μπορείτε να πάρετε μια προεξοχή ενός χιλιομέτρου - δυστυχώς, μόνο μαθηματικά: ολόκληρη η Γη δεν θα ήταν αρκετή για να χτίσει τόσα πολλά μπλοκ!

Ρύζι. 3. Προσθέστε περισσότερα μπλοκ

Τώρα οι υπολογισμοί που αφήσαμε παραπάνω. Θα υπολογίσουμε όλες τις αποστάσεις "οριζόντια" στον άξονα x, γιατί αυτό είναι το μόνο θέμα. Το σημείο Α (το κέντρο βάρους του πρώτου μπλοκ) απέχει 1/2 από τη δεξιά άκρη. Το σημείο Β (το κέντρο του συστήματος δύο μπλοκ) βρίσκεται 1/4 από τη δεξιά άκρη του δεύτερου μπλοκ. Αφήστε το τέλος του δεύτερου μπλοκ να είναι το σημείο εκκίνησης (θα προχωρήσουμε τώρα στο τρίτο). Για παράδειγμα, πού είναι το κέντρο βάρους του απλού μπλοκ #3; Το μισό μήκος αυτού του μπλοκ, επομένως αφαιρείται από το σημείο αναφοράς μας κατά 1/2 + 1/4 = 3/4. Πού είναι το σημείο Γ; Στα δύο τρίτα του τμήματος μεταξύ 3/4 και 1/4, δηλαδή στο σημείο προς, αλλάζουμε το σημείο εκκίνησης στη δεξιά άκρη του τρίτου μπλοκ. Το κέντρο βάρους του συστήματος τριών μπλοκ έχει πλέον αφαιρεθεί από το νέο σημείο αναφοράς και ούτω καθεξής. Κέντρο βάρους Γ_n ενός πύργου που αποτελείται από n μπλοκ απέχει 1/2 n από το στιγμιαίο σημείο αναφοράς, το οποίο είναι το δεξιό άκρο του βασικού μπλοκ, δηλαδή το nο τετράγωνο από την κορυφή.

Εφόσον η σειρά των αμοιβαίων αποκλίσεων αποκλίνει, μπορούμε να πάρουμε οποιαδήποτε μεγάλη παραλλαγή. Θα μπορούσε πράγματι να γίνει αυτό; Είναι σαν ένας ατελείωτος πύργος από τούβλα - αργά ή γρήγορα θα καταρρεύσει από το ίδιο του το βάρος. Στο σχήμα μας, οι ελάχιστες ανακρίβειες στην τοποθέτηση μπλοκ (και η αργή αύξηση των μερικών ποσών σειρών) σημαίνει ότι δεν θα φτάσουμε πολύ μακριά.