πέντε φορές στο μάτι

Στα τέλη του 2020 πραγματοποιήθηκαν αρκετές εκδηλώσεις σε πανεπιστήμια και σχολεία που αναβλήθηκαν από τον... Μάρτιο. Ένα από αυτά ήταν η «εορτή» της Ημέρας Πι. Σχετικά με αυτό το θέμα, έδωσα μια εξ αποστάσεως διάλεξη στο Πανεπιστήμιο της Σιλεσίας στις 8 Δεκεμβρίου και αυτό το άρθρο είναι μια περίληψη της διάλεξης. Όλο το πάρτι ξεκίνησε στις 9.42 και η διάλεξή μου είναι προγραμματισμένη για τις 10.28. Από πού προέρχεται αυτή η ακρίβεια; Είναι απλό: 3 φορές το pi είναι περίπου 9,42 και το pi στη 2η δύναμη είναι περίπου 9,88 και η ώρα 9 στην 88η δύναμη είναι 10 στην 28η δύναμη...

Το έθιμο να τιμάται αυτός ο αριθμός είναι που εκφράζει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του και μερικές φορές ονομάζεται σταθερά του Αρχιμήδη (και επίσης στους γερμανόφωνους πολιτισμούς), κατάγεται από τις ΗΠΑ (δείτε επίσης: ). 3.14 Μαρτίου «American style» στις 22:22, εξ ου και η ιδέα. Το πολωνικό ισοδύναμο θα μπορούσε να είναι 7 Ιουλίου επειδή το κλάσμα 14/XNUMX προσεγγίζει το π καλά, το οποίο… ο Αρχιμήδης γνώριζε ήδη. Λοιπόν, ο Μάρτιος XNUMX είναι η καλύτερη εποχή για παράπλευρες εκδηλώσεις.

Αυτά τα τρία και τα δεκατέσσερα εκατοστά είναι ένα από τα λίγα μαθηματικά μηνύματα που μας έχουν μείνει από το σχολείο για το υπόλοιπο της ζωής μας. Όλοι ξέρουν τι σημαίνει αυτό»πέντε φορές στο μάτι". Είναι τόσο ριζωμένο στη γλώσσα που είναι δύσκολο να το εκφράσεις διαφορετικά και τόσο χαριτωμένα. Όταν ρώτησα σε ένα συνεργείο αυτοκινήτων πόσο μπορεί να κοστίσει μια επισκευή, ο μηχανικός σκέφτηκε για μια στιγμή και είπε: «πενταπλάσιο περίπου οκτακόσια ζλότι». Αποφάσισα να εκμεταλλευτώ την κατάσταση. «Εννοείς μια πρόχειρη προσέγγιση;» Ο μηχανικός μάλλον σκέφτηκε ότι δεν άκουσα σωστά, οπότε επανέλαβε: «Δεν ξέρω ακριβώς πόσο, αλλά πέντε φορές με το μάτι θα είναι 800».

.

Περί τίνος πρόκειται? Στην ορθογραφία πριν από τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο, το "όχι" χρησιμοποιήθηκε μαζί και το άφησα εκεί. Δεν έχουμε να κάνουμε με υπερβολικά στιλβωμένη ποίηση εδώ, αν και μου αρέσει η ιδέα ότι «το χρυσό καράβι λικνίζει την ευτυχία». Ρωτήστε τους μαθητές: Τι σημαίνει αυτή η σκέψη; Αλλά η αξία αυτού του κειμένου βρίσκεται αλλού. Ο αριθμός των γραμμάτων στις παρακάτω λέξεις είναι τα ψηφία της επέκτασης του π. Ας ρίξουμε μια ματιά:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

Το 1596, Ολλανδός επιστήμονας γερμανικής καταγωγής Λούντολφ βαν Σέουλεν υπολόγισε την τιμή του pi με ακρίβεια 35 δεκαδικά ψηφία. Αυτές οι μορφές στη συνέχεια χαράχτηκαν στον τάφο του. Αφιέρωσε ένα ποίημα στον αριθμό pi και στον νομπελίστα μας, Wyslava Szymborska. Η Szymborska γοητεύτηκε από τη μη περιοδικότητα αυτού του αριθμού και το γεγονός ότι με πιθανότητα 1 κάθε ακολουθία αριθμών, για παράδειγμα ο αριθμός τηλεφώνου μας, θα εμφανίζεται εκεί. Ενώ η πρώτη ιδιότητα είναι εγγενής σε κάθε παράλογο αριθμό (που πρέπει να θυμόμαστε από το σχολείο), η δεύτερη είναι ένα ενδιαφέρον μαθηματικό γεγονός που είναι δύσκολο να αποδειχθεί. Μπορείτε να βρείτε ακόμη και εφαρμογές που προσφέρουν: δώστε μου τον αριθμό τηλεφώνου σας και θα σας πω πού είναι στο pi.

Όπου υπάρχει στρογγυλότητα, υπάρχει ύπνος. Αν έχουμε μια στρογγυλή λίμνη, τότε το περπάτημα γύρω της είναι 1,57 φορές περισσότερο από το κολύμπι. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι θα κολυμπήσουμε μιάμιση με δύο φορές πιο αργά από ό,τι θα περάσουμε. Μοιράστηκα το παγκόσμιο ρεκόρ 100μ με το παγκόσμιο ρεκόρ 100μ. Είναι ενδιαφέρον ότι σε άνδρες και γυναίκες το αποτέλεσμα είναι σχεδόν το ίδιο και είναι 4,9. Κολυμπάμε 5 φορές πιο αργά από ότι τρέχουμε. Η κωπηλασία είναι εντελώς διαφορετική - αλλά μια ενδιαφέρουσα πρόκληση. Έχει μια αρκετά μεγάλη ιστορία.

Φεύγοντας από τον καταδιώκοντα κακοποιό, ο όμορφος και ευγενής Good One έπλευσε στη λίμνη. Ο κακός τρέχει κατά μήκος της ακτής και περιμένει να τον κάνει να προσγειωθεί. Φυσικά, τρέχει πιο γρήγορα από τις σειρές Dobry, και αν τρέχει ομαλά, ο Dobry είναι πιο γρήγορος. Έτσι, η μόνη ευκαιρία για το Κακό είναι να πάρει το Καλό από την ακτή - μια ακριβής βολή από ένα περίστροφο δεν είναι επιλογή, γιατί. Το καλό έχει πολύτιμες πληροφορίες που θέλει να μάθει ο Κακός.

Η στρατηγική της Good είναι η εξής. Κολυμπά κατά μήκος της λίμνης, πλησιάζοντας σταδιακά την ακτή, αλλά πάντα προσπαθώντας να βρίσκεται στην αντίθετη πλευρά του Κακού, που τρέχει χαοτικά αριστερά και δεξιά. Αυτό φαίνεται στο σχήμα. Ας είναι η αρχική θέση του Κακού το Ζ₁, και το Dobre είναι το μέσο της λίμνης. Όταν ο Zly μετακομίζει στο Z₁, Καλή θα κολυμπήσει στο Δ.₁όταν ο Bad είναι στο Z₂, Μπράβο Δ₂. Θα ρέει με ζιγκ-ζαγκ, αλλά σύμφωνα με τον κανόνα: όσο το δυνατόν πιο μακριά από το Ζ. Ωστόσο, καθώς απομακρύνεται από το κέντρο της λίμνης, το Good πρέπει να κινείται σε όλο και μεγαλύτερους κύκλους και κάποια στιγμή δεν μπορεί να διατηρήσει την αρχή του «να είσαι στην άλλη πλευρά του Κακού». Μετά κωπηλατήθηκε με όλη του τη δύναμη προς την ακτή, ελπίζοντας ότι ο Κακός δεν θα γύριζε τη λίμνη. Θα πετύχει το Good;

Η απάντηση εξαρτάται από το πόσο γρήγορα μπορεί ο Good να κωπηλατήσει σε σχέση με το κόστος των ποδιών του Bad. Ας υποθέσουμε ότι ο Κακός τρέχει με ταχύτητα που είναι μία φορά την ταχύτητα του Καλού στη λίμνη. Κατά συνέπεια, ο μεγαλύτερος κύκλος στον οποίο το Καλό μπορεί να κωπηλατεί για να αντισταθεί στο Κακό έχει μια ακτίνα μία φορά μικρότερη από την ακτίνα της λίμνης. Έτσι, στο σχέδιο έχουμε. Στο σημείο Δ, το Dobry μας αρχίζει να κωπηλατεί προς την ακτή. Αυτό πρέπει να πάει 

 με ταχύτητα

Χρειάζεται χρόνο.

Ο κακός κυνηγάει τους πάντες με τα καλύτερα του πόδια. Πρέπει να ολοκληρώσει τον μισό κύκλο, ο οποίος θα του πάρει δευτερόλεπτα ή λεπτά, ανάλογα με τις μονάδες που θα επιλέξει. Αν αυτό είναι κάτι παραπάνω από ένα ευτυχές τέλος:

Ο καλός θα φύγει. Οι απλοί λογαριασμοί δείχνουν τι πρέπει να είναι. Αν ένας κακός άνθρωπος τρέχει γρηγορότερα από 4,14 φορές πιο γρήγορα από έναν καλό, τελειώνει άσχημα. Και εδώ μπαίνει στο παιχνίδι και ο αριθμός μας pi.

Ό,τι είναι στρογγυλό είναι όμορφο. Ας δούμε τη φωτογραφία τριών διακοσμητικών πιάτων - τα έχω μετά τους γονείς μου. Ποιο είναι το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου μεταξύ τους; Αυτό είναι ένα απλό έργο. η απάντηση είναι στην ίδια φωτογραφία. Δεν μας εκπλήσσει που εμφανίζεται στον τύπο - εξάλλου, όπου υπάρχει στρογγυλότητα, υπάρχει και pi.

Χρησιμοποίησα μια πιθανώς άγνωστη λέξη:. Αυτό είναι το όνομα του αριθμού pi στη γερμανόφωνη κουλτούρα, και όλα αυτά χάρη στους Ολλανδούς (στην πραγματικότητα ένας Γερμανός που ζούσε στην Ολλανδία - η εθνικότητα δεν είχε σημασία εκείνη την εποχή), Λούντολφ της Σεουλένας... Το 1596 g. υπολόγισε 35 ψηφία της επέκτασής του σε δεκαδικό. Αυτός ο δίσκος κράτησε μέχρι το 1853, οπότε Ουίλιαμ Ράδερφορντ μέτρησε 440 θέσεις. Ο κάτοχος ρεκόρ για τους χειροκίνητους υπολογισμούς είναι (μάλλον για πάντα) Ουίλιαμ Σανκς, ο οποίος μετά από πολλά χρόνια εργασίας εξέδωσε (το 1873) επέκταση σε 702 ψηφία. Μόλις το 1946 βρέθηκε ότι τα τελευταία 180 ψηφία ήταν λανθασμένα, αλλά παρέμειναν έτσι. 527 σωστό. Ήταν ενδιαφέρον να βρούμε το ίδιο το σφάλμα. Λίγο μετά τη δημοσίευση του αποτελέσματος, ο Shanks υποψιάστηκε ότι "κάτι δεν πήγαινε καλά" - υπήρχαν ύποπτα λίγα επτά σε εξέλιξη. Μια ακόμη μη αποδεδειγμένη υπόθεση (Δεκέμβριος 2020) δηλώνει ότι όλοι οι αριθμοί πρέπει να εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα. Αυτό ώθησε τον D. T. Ferguson να επανεξετάσει τους υπολογισμούς του Shanks και να βρει ένα μαθητικό λάθος!

Αργότερα, οι αριθμομηχανές και οι υπολογιστές βοήθησαν τους ανθρώπους. Ο τρέχων κάτοχος του ρεκόρ (Δεκέμβριος 2020) είναι Τίμοθι Μάλικαν (50 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία). Οι υπολογισμοί κράτησαν... 303 μέρες. Ας παίξουμε: πόσο χώρο θα έπαιρνε αυτός ο αριθμός αν εκτυπωνόταν σε ένα τυπικό βιβλίο; Μέχρι πρόσφατα, η τυπωμένη «πλευρά» του κειμένου ήταν 1800 χαρακτήρες (30 γραμμές των 60 γραμμών). Ας μειώσουμε τον αριθμό των χαρακτήρων και τα περιθώρια σελίδας, ας συγκεντρώσουμε 5000 χαρακτήρες σε μια σελίδα και ας εκτυπώσουμε βιβλία 50 σελίδων. Έτσι, XNUMX τρισεκατομμύρια χαρακτήρες θα καταλάμβαναν δέκα εκατομμύρια βιβλία. Δεν είναι κακό, σωστά;

Το ερώτημα είναι: ποιο είναι το νόημα ενός τέτοιου αγώνα; Από καθαρά οικονομική σκοπιά, γιατί να πληρώσει ο φορολογούμενος μια τέτοια «ψυχαγωγία» των μαθηματικών; Η απάντηση δεν είναι περίπλοκη. Πρώτα, από το Seulen εφηύρε κενά για τους υπολογισμούς, τότε χρήσιμο για λογαριθμικούς υπολογισμούς. Αν του έλεγαν: παρακαλώ φτιάξε κενά, θα απαντούσε: γιατί; Παρόμοια εντολή: Όπως γνωρίζετε, αυτή η ανακάλυψη δεν ήταν εντελώς τυχαία, αλλά παρόλα αυτά ένα υποπροϊόν έρευνας διαφορετικού τύπου.

Δεύτερον, ας διαβάσουμε τι γράφει Τίμοθι Μάλικαν. Εδώ είναι μια αναπαραγωγή της αρχής του έργου του. Ο καθηγητής Mullican εργάζεται στον τομέα της κυβερνοασφάλειας και οι αριθμοί pi είναι ένα μικρό χόμπι όπου απλώς δοκίμαζε το νέο του σύστημα κυβερνοασφάλειας.

Αλλά αυτό το 3,14159 είναι υπεραρκετό στη μηχανική, αυτό είναι άλλο θέμα. Ας κάνουμε έναν απλό υπολογισμό. Ο Δίας απέχει 4,774 Tm από τον Ήλιο (τερόμετρο = 1012 μέτρα). Για να υπολογίσουμε την περιφέρεια ενός τέτοιου κύκλου με τέτοια ακτίνα με παράλογη ακρίβεια 1 χιλιοστού, θα αρκούσε να πάρουμε π = 3,1415926535897932.

Η παρακάτω φωτογραφία δείχνει έναν τέταρτο κύκλο φτιαγμένο από τουβλάκια Lego. Χρησιμοποίησα 1774 pads και ήταν pi γύρω στο 3,08. Δεν είναι το καλύτερο, αλλά τι να περιμένουμε; Δεν μπορεί να γίνει κύκλος από τετράγωνα.

Ακριβώς. Ο αριθμός π είναι γνωστός για το γεγονός ότι τετράγωνος κύκλος - ένα μαθηματικό πρόβλημα που περιμένει τη λύση του για περισσότερα από 2000 χρόνια - από την ελληνική εποχή. Είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ένα τετράγωνο με πυξίδα και ευθεία του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το εμβαδόν του δεδομένου κύκλου;

Ο όρος «τετράγωνο κύκλου» έχει επίσης εισέλθει στην καθομιλουμένη ως σύμβολο κάτι αδύνατου. Πατάω το πλήκτρο για να ρωτήσω, είναι αυτό κάποιου είδους προσπάθεια να γεμίσει το όρυγμα της εχθρότητας που διχάζει τους πολίτες της όμορφης χώρας μας; Αλλά ήδη αποφεύγω αυτό το θέμα, γιατί μάλλον νιώθω καλά μόνο με τα μαθηματικά.

Και πάλι το ίδιο πράγμα - η λύση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου δεν εμφανίστηκε με τέτοιο τρόπο ώστε ο συγγραφέας της λύσης, Τσαρλς Λίντεμαν, το 1882 ήταν αποφασισμένος και τελικά τα κατάφερε. Σε κάποιο βαθμό ναι, αλλά ήταν αποτέλεσμα επίθεσης από ευρύ μέτωπο. Οι μαθηματικοί έχουν μάθει ότι οι αριθμοί έρχονται σε διαφορετικούς τύπους. Όχι μόνο ακέραιοι αριθμοί, ορθολογικοί (δηλαδή κλάσματα) και παράλογοι. Η αμετριότητα μπορεί επίσης να είναι καλύτερη ή χειρότερη. Μπορεί να θυμόμαστε από το σχολείο ότι ένας παράλογος αριθμός είναι √2, αριθμός που εκφράζει τον λόγο του μήκους της διαγώνιας ενός τετραγώνου προς το μήκος της πλευράς του. Όπως κάθε παράλογος αριθμός, έχει αόριστη προέκταση. Να σας υπενθυμίσω ότι η περιοδική διαστολή είναι ιδιότητα ρητών αριθμών, δηλ. ιδιωτικοί ακέραιοι:

Εδώ η ακολουθία των αριθμών 142857 επαναλαμβάνεται επ' αόριστον. Για √2 αυτό δεν θα συμβεί - αυτό είναι μέρος του παραλογισμού. Αλλά μπορείς:

(η παράταξη συνεχίζεται για πάντα). Βλέπουμε ένα μοτίβο εδώ, αλλά διαφορετικού τύπου. Το Pi δεν είναι καν τόσο συνηθισμένο. Δεν μπορεί να ληφθεί λύνοντας μια αλγεβρική εξίσωση - δηλαδή μια εξίσωση στην οποία δεν υπάρχει τετραγωνική ρίζα, δεν υπάρχει λογάριθμος, δεν υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αυτό δείχνει ήδη ότι δεν είναι κατασκευάσιμο - το σχέδιο κύκλων οδηγεί σε τετραγωνικές συναρτήσεις και οι γραμμές - ευθείες γραμμές - σε εξισώσεις πρώτου βαθμού.

Ίσως να έχω παρεκκλίνει από την κύρια πλοκή. Μόνο η ανάπτυξη όλων των μαθηματικών κατέστησε δυνατή την επιστροφή στις ρίζες - στα αρχαία όμορφα μαθηματικά των στοχαστών που δημιούργησαν για εμάς την ευρωπαϊκή κουλτούρα σκέψης, τόσο αμφίβολη από ορισμένους σήμερα.

Από μια ποικιλία αντιπροσωπευτικών μοτίβων, διάλεξα δύο. Το πρώτο από αυτά το συνδέουμε με το επώνυμο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646-1716).

Αλλά ήταν γνωστός (μοντέλο, όχι Leibniz) στον μεσαιωνικό Ινδουιστή λόγιο Madhava του Sangamagram (1350-1425). Η μεταφορά πληροφοριών εκείνη την εποχή δεν ήταν μεγάλη - οι συνδέσεις στο Διαδίκτυο ήταν συχνά λάθη και δεν υπήρχαν μπαταρίες για κινητά τηλέφωνα (γιατί δεν είχαν εφευρεθεί ακόμη τα ηλεκτρονικά!). Ο τύπος είναι όμορφος, αλλά άχρηστος για υπολογισμούς. Από εκατό συστατικά προκύπτουν «μόνο» 3,15159.

είναι λίγο καλύτερα Ο τύπος του Viète (αυτός από τετραγωνικές εξισώσεις), και ο τύπος του είναι εύκολος να προγραμματιστεί γιατί ο επόμενος όρος στο γινόμενο είναι η τετραγωνική ρίζα του προηγούμενου συν δύο.

Γνωρίζουμε ότι ο κύκλος είναι στρογγυλός. Μπορούμε να πούμε ότι αυτός είναι ένας γύρος 100 τοις εκατό. Ένας μαθηματικός θα ρωτήσει: μπορεί κάτι να μην είναι 1 τοις εκατό στρογγυλό; Προφανώς πρόκειται για οξύμωρο, μια φράση που περιέχει μια κρυφή αντίφαση, όπως ο καυτός πάγος. Αλλά ας προσπαθήσουμε να μετρήσουμε πόσο στρογγυλές μπορεί να είναι οι φιγούρες. Αποδεικνύεται ότι ένα καλό μέτρο δίνεται από τον ακόλουθο τύπο, στον οποίο S είναι το εμβαδόν και L είναι η περιφέρεια του σχήματος. Ας μάθουμε ότι ο κύκλος είναι πραγματικά στρογγυλός, ότι το σίγμα είναι ίσο με 6. Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι η περιφέρεια. Εισάγουμε... και βλέπουμε τι είναι σωστό. Πόσο στρογγυλό είναι ένα τετράγωνο; Οι υπολογισμοί είναι εξίσου απλοί, δεν θα τους δώσω καν. Ας πάρουμε ένα κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα. Η περίμετρος είναι προφανώς XNUMX.

Πόλος

Τι γίνεται με ένα κανονικό εξάγωνο; Η περιφέρειά του είναι 6 και το εμβαδόν του είναι

Έχουμε λοιπόν

που είναι περίπου ίσο με 0,952. Το εξάγωνο είναι πάνω από 95% «στρογγυλό».

Ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα προκύπτει κατά τον υπολογισμό της στρογγυλότητας ενός αθλητικού σταδίου. Σύμφωνα με τους κανόνες της IAAF, οι ευθείες και οι καμπύλες πρέπει να έχουν μήκος 40 μέτρα, αν και επιτρέπονται αποκλίσεις. Θυμάμαι ότι το στάδιο Bislet στο Όσλο ήταν στενό και μακρύ. Γράφω "ήταν" επειδή το έτρεξα ακόμη και (για ερασιτέχνη!), αλλά περισσότερα από XNUMX χρόνια πριν. Ας ρίξουμε μια ματιά:

Εάν ένα τόξο έχει ακτίνα 100 μέτρων, η ακτίνα αυτού του τόξου είναι μέτρα. Η επιφάνεια του χλοοτάπητα είναι τετραγωνικά μέτρα και η περιοχή έξω από αυτό (όπου υπάρχουν σανίδες άλματος) προστίθεται σε τετραγωνικά μέτρα. Ας το βάλουμε στον τύπο:

Άρα η στρογγυλότητα ενός αθλητικού σταδίου έχει σχέση με ένα ισόπλευρο τρίγωνο; Επειδή το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι όσες φορές η πλευρά του. Είναι μια τυχαία σύμπτωση αριθμών, αλλά είναι ωραία. Μου αρέσει. Τι γίνεται με τους αναγνώστες;

Λοιπόν, είναι καλό που είναι στρογγυλό, αν και κάποιοι μπορεί να διαφωνήσουν επειδή ο ιός που μας επηρεάζει όλους είναι στρογγυλός. Τουλάχιστον έτσι το ζωγραφίζουν.