Άρθρο για το τίποτα

Ως παιδί, με γοήτευε η ιστορία, πιθανότατα γνωστή σε πολλούς αναγνώστες, για τη «σούπα στο καρφί». Η γιαγιά μου (XNUMXος αιώνας γέννησης) μου το είπε στην εκδοχή «Ο Κοζάκος ήρθε και ζήτησε νερό, γιατί έχει ένα καρφί και θα μαγειρέψει σούπα πάνω του». Η περίεργη οικοδέσποινα του έδωσε μια κατσαρόλα με νερό… και ξέρουμε τι έγινε μετά: «η σούπα να είναι αλμυρή, νταούλα, γιαγιά, αλάτι», μετά έπλυνε το κρέας «για να βελτιώσει τη γεύση» και ούτω καθεξής. Στο τέλος πέταξε το «βρασμένο» καρφί.

Αυτό το άρθρο λοιπόν υποτίθεται ότι αφορούσε το κενό του χώρου - και πρόκειται για την προσγείωση μιας ευρωπαϊκής συσκευής στον κομήτη 67P / Churyumov-Gerasimenko στις 12 Νοεμβρίου 2014. Αλλά ενώ έγραφα, υπέκυψα σε μια μακροχρόνια συνήθεια, Είμαι ακόμα μαθηματικός. Πώς είναι με Σανс Μηδέν μαθηματικά?

Πώς υπάρχει το Τίποτα;

Δεν μπορεί να ειπωθεί ότι Τίποτα δεν υπάρχει. Υπάρχει τουλάχιστον ως έννοια φιλοσοφική, μαθηματική, θρησκευτική και εντελώς καθομιλουμένη. Το μηδέν είναι ένας συνηθισμένος αριθμός, οι μηδέν βαθμοί σε ένα θερμόμετρο είναι επίσης μια θερμοκρασία και ένα μηδενικό υπόλοιπο σε μια τράπεζα είναι ένα δυσάρεστο αλλά σύνηθες φαινόμενο. Σημειώστε ότι δεν υπάρχει έτος μηδέν στη χρονολογία, και αυτό συμβαίνει επειδή το μηδέν εισήχθη στα μαθηματικά μόνο στον ύστερο Μεσαίωνα, αργότερα από τη χρονολογία που πρότεινε ο μοναχός Διονύσιος (XNUMXος αιώνας).

Παραδόξως, θα μπορούσαμε πραγματικά να κάνουμε χωρίς αυτό το μηδέν και επομένως χωρίς αρνητικούς αριθμούς. Σε ένα από τα εγχειρίδια λογικής βρήκα μια άσκηση: ζωγραφίστε ή πείτε πώς φαντάζεστε την απουσία ψαριών. Καταπληκτικό, έτσι δεν είναι; Ο καθένας μπορεί να ζωγραφίσει ένα ψάρι, αλλά η απουσία ενός;

Τώρα εν συντομία μάθημα βασικών μαθηματικών. Η παραχώρηση του προνομίου ύπαρξης σε ένα κενό σύνολο, που σημειώνεται με έναν διαγραμμένο κύκλο ∅, είναι μια απαραίτητη διαδικασία ανάλογη με την προσθήκη μηδέν στο σύνολο των αριθμών. Το κενό σύνολο είναι το μόνο σύνολο που δεν περιέχει στοιχεία. Τέτοιες συλλογές:

Αλλά δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά κενά σύνολα. Το κενό σύνολο περιλαμβάνεται σε κάθε άλλο σετ:

Πράγματι, οι κανόνες της μαθηματικής λογικής λένε ότι ένα σύνολο Α περιέχεται σε ένα σύνολο Β αν και μόνο αν η πρόταση:

αυτό συνεπάγεται

Στην περίπτωση του κενού συνόλου ∅, η πρόταση είναι πάντα ψευδής, και έτσι, σύμφωνα με τους νόμους της λογικής, η συνεπαγωγή είναι γενικά αληθής. Όλα πηγάζουν από ένα ψέμα ("εδώ θα καλλιεργήσω έναν κάκτο αν μετακομίσεις στην επόμενη τάξη ..."). Έτσι, εφόσον το κενό σύνολο περιέχεται σε καθένα από τα άλλα, τότε αν ήταν δύο διαφορετικά, το καθένα από αυτά θα περιέχονταν στο άλλο. Ωστόσο, εάν δύο σύνολα περιέχονται το ένα μέσα στο άλλο, είναι ίσα. Γι' αυτό: υπάρχει μόνο ένα κενό σετ!

Το αξίωμα για την ύπαρξη του κενού συνόλου δεν έρχεται σε αντίθεση με κανέναν νόμο των μαθηματικών, οπότε γιατί να μην το ζωντανέψει; Μια φιλοσοφική αρχή που ονομάζεταιΤο ξυράφι του Όκαμ«Μια εντολή να αποκλειστούν περιττές έννοιες, αλλά σωστά η έννοια του κενού συνόλου είναι πολύ χρήσιμη στα μαθηματικά. Λάβετε υπόψη ότι το κενό σύνολο έχει διάσταση -1 (μείον ένα) - τα μηδενικά στοιχεία είναι σημεία και τα αραιά συστήματά τους, τα μονοδιάστατα στοιχεία είναι γραμμές και μιλήσαμε για πολύ περίπλοκα μαθηματικά στοιχεία με φράκταλ διάσταση στο κεφάλαιο για φράκταλ.

Είναι ενδιαφέρον ότι ολόκληρο το κτίριο των μαθηματικών: αριθμοί, αριθμοί, συναρτήσεις, τελεστές, ολοκληρώματα, διαφορικά, εξισώσεις ... μπορεί να προκύψει από μια έννοια - ένα κενό σύνολο! Αρκεί να υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα κενό σύνολο, τα στοιχεία που δημιουργήθηκαν πρόσφατα μπορούν να συνδυαστούν σε σύνολα για να μπορέσουν χτίστε όλα τα μαθηματικά. Έτσι κατασκεύασε τους φυσικούς αριθμούς ο Γερμανός λογικός Gottlob Frege. Το Null είναι μια κλάση συνόλων των οποίων τα στοιχεία βρίσκονται σε αμοιβαία αντιστοιχία με τα στοιχεία του κενού συνόλου. Το ένα είναι μια κατηγορία συνόλων των οποίων τα στοιχεία βρίσκονται σε αμοιβαία αντιστοιχία με τα στοιχεία ενός συνόλου του οποίου το μοναδικό στοιχείο είναι το κενό σύνολο. Δύο είναι η κλάση των συνόλων των οποίων τα στοιχεία είναι ένα προς ένα με τα στοιχεία του συνόλου που αποτελείται από το κενό σύνολο και το σύνολο του οποίου το μοναδικό στοιχείο είναι το κενό σύνολο... και ούτω καθεξής. Με την πρώτη ματιά αυτό φαίνεται σαν κάτι πολύ περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα δεν είναι.

Το μπλε απλώθηκε πάνω μου,

μύριζε ρείκι και μύριζε μέντα...

Wojciech Mlynarski, «Κορίτσι από τη συγκομιδή»

Είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς

Τίποτα δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς. Στην ιστορία του Stanislaw Lem «How the World Was Saved», ο σχεδιαστής Trurl κατασκεύασε μια μηχανή που θα έκανε τα πάντα, ξεκινώντας από το γράμμα. Όταν ο Κλαπαύκιος διέταξε να το χτίσουν Nic, το μηχάνημα άρχισε να αφαιρεί διάφορα αντικείμενα από τον κόσμο – με απώτερο στόχο να αφαιρέσει τα πάντα. Την ώρα που ο φοβισμένος Κλαπαύκιος σταμάτησε το αμάξι, γαλέρες, πουράκια, κρεμαστά, αμυχές, ομοιοκαταληξίες, ξυλοκοπτήρες, πουφ, μύλοι, σουβλάκια, φιλίδρονες και παγωνιές είχαν εξαφανιστεί για πάντα από τον κόσμο. Και πράγματι, εξαφανίστηκαν για πάντα…

Ο Józef Tischner έγραψε πολύ καλά για το τίποτα στην Ιστορία της Φιλοσοφίας του Βουνού. Κατά τις τελευταίες μου διακοπές, αποφάσισα να ζήσω αυτό το τίποτα, δηλαδή, πήγα στους τυρφώνες μεταξύ Nowy Targ και Jabłonka στο Podhale. Αυτή η περιοχή ονομάζεται ακόμη και Pustachia. Πας, πας, αλλά ο δρόμος δεν μειώνεται - φυσικά, στη μέτρια, πολωνική μας κλίμακα. Μια μέρα πήρα ένα λεωφορείο στην καναδική επαρχία Saskatchewan. Έξω ήταν ένα χωράφι με καλαμπόκι. Πήρα έναν υπνάκο για μισή ώρα. Όταν ξύπνησα, οδηγούσαμε στο ίδιο χωράφι με καλαμπόκι... Αλλά περιμένετε, είναι άδειο; Κατά μία έννοια, η απουσία αλλαγής είναι απλώς κενό.

Έχουμε συνηθίσει στη συνεχή παρουσία διαφόρων αντικειμένων γύρω μας, και από Κάτι δεν μπορείς να ξεφύγεις ούτε με κλειστά μάτια. «Σκέφτομαι, άρα υπάρχω», είπε ο Ντεκάρτ. Αν έχω ήδη σκεφτεί κάτι, σημαίνει ότι υπάρχω, και αυτό σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον κάτι στον κόσμο (δηλαδή εγώ). Υπάρχει αυτό που νόμιζα; Αυτό μπορεί να συζητηθεί, αλλά στη σύγχρονη κβαντική μηχανική η αρχή του Heisenberg είναι γνωστή: κάθε παρατήρηση διαταράσσει την κατάσταση του παρατηρούμενου αντικειμένου. Μέχρι να το δούμε Nic δεν υπάρχει, και όταν αρχίζουμε να κοιτάμε, το αντικείμενο παύει να είναι Σαν και γίνεται Κάτι. Αυτό οδηγεί στον παραλογισμό ανθρωπική αρχή: Δεν έχει νόημα να ρωτάμε πώς θα ήταν ο κόσμος αν δεν υπήρχαμε. Ο κόσμος είναι όπως μας φαίνεται. Ίσως άλλα πλάσματα θα δουν τη Γη ως γωνιακή;

Ένα ποζιτρόνιο (ένα τέτοιο θετικό ηλεκτρόνιο) είναι μια τρύπα στο διάστημα, "δεν υπάρχει ηλεκτρόνιο". Στη διαδικασία της εκμηδένισης, το ηλεκτρόνιο πηδά σε αυτή την τρύπα και «δεν συμβαίνει τίποτα» - δεν υπάρχει τρύπα, δεν υπάρχει ηλεκτρόνιο. Θα παραλείψω πολλά αστεία για τρύπες στο ελβετικό τυρί ("όσο περισσότερα έχω, τόσο λιγότερα εκεί ..."). Ο διάσημος συνθέτης John Cage είχε ήδη χρησιμοποιήσει τις ιδέες του σε τέτοιο βαθμό που συνέθεσε (;) ένα μουσικό κομμάτι (;) στο οποίο η ορχήστρα κάθεται ακίνητη για 4 λεπτά 33 δευτερόλεπτα και, φυσικά, δεν παίζει τίποτα. «Τέσσερα λεπτά και τριάντα τρία δευτερόλεπτα είναι διακόσια εβδομήντα τρία, 273, και μείον 273 μοίρες είναι το απόλυτο μηδέν, στο οποίο σταματάει κάθε κίνηση», εξήγησε ο συνθέτης (;).

Φιλτράρισμα στο μηδέν, τίποτα, nick, nick, τίποτα, μηδέν!

Ο Jerzy στην ταινία του Andrzej Wajda με τα χρόνια,

οι μέρες περνούν"

Τι θα λέγατε για τα πάντα;

Πολλοί άνθρωποι (από απλούς καλλιεργητές σιτηρών μέχρι εξέχοντες φιλόσοφους) έχουν αναρωτηθεί για το φαινόμενο της ύπαρξης. Στα μαθηματικά η κατάσταση είναι απλή: υπάρχει κάτι που είναι συνεπές.

Εξαφανίστηκε στα ακραία χωράφια

Σε κενταύριο, αγριόχορτα και λιονταριές...

Λοιπόν, αυτά τα πράγματα συμβαίνουν

Ειδικά στη συγκομιδή, και κατά τη διάρκεια του τρύγου

ειδικά…

Wojciech Mlynarski, «Κορίτσι από τη συγκομιδή»

Όλα είναι στο άλλο άκρο από το Τίποτα. Στα μαθηματικά είναι γνωστό ότι Όλα δεν υπάρχουν. Είναι απλώς πολύ ανακριβές να φανταστεί κανείς ότι η ύπαρξή του θα ήταν απαλλαγμένη από διαμάχες. Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό από το παράδειγμα του παλιού παραδόξου: "Αν ο Θεός είναι παντοδύναμος, τότε δημιουργήστε μια πέτρα για να σηκώσετε;" Η μαθηματική απόδειξη ότι δεν μπορεί να υπάρχει ένα σύνολο όλων των συνόλων βασίζεται στο θεώρημα τραγουδιστής-Μπερστάιν, που λέει ότι "ένας άπειρος αριθμός" (μαθηματικά: Απόλυτος αριθμός) το σύνολο όλων των μελών ενός δεδομένου συνόλου είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό των στοιχείων αυτού του συνόλου.

Αν ένα σύνολο έχει στοιχεία, τότε έχει 2ⁿ υποσύνολα? για παράδειγμα, όταν = 3 και το σύνολο αποτελείται από {1, 2, 3}, τότε υπάρχουν τα ακόλουθα υποσύνολα:

• τρία σύνολα δύο στοιχείων: σε κάθε ένα από αυτά λείπει ένας από τους αριθμούς 1, 2, 3,
• ένα άδειο σετ,
• τρία μονότονα σετ,
• ολόκληρο σετ {1,2,3}

– μόνο οκτώ, 2³Και για τους αναγνώστες που αποφοίτησαν πρόσφατα από το σχολείο, θα ήθελα να σας υπενθυμίσω την αντίστοιχη φόρμουλα:

Κάθε ένα από τα νευτώνεια σύμβολα σε αυτόν τον τύπο καθορίζει τον αριθμό των συνόλων k-στοιχείων στο σύνολο -στοιχείων.

Στα μαθηματικά, οι διωνυμικοί συντελεστές εμφανίζονται σε πολλά άλλα μέρη, όπως σε ενδιαφέροντες συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού:

και από την ακριβή τους μορφή αυτό που είναι πολύ πιο ενδιαφέρον είναι η αλληλεξάρτησή τους.

Είναι δύσκολο να καταλάβουμε τι είναι - όσον αφορά τη λογική και τα μαθηματικά - και τι δεν είναι τα πάντα. Επιχειρήματα για την ανυπαρξία Ακριβώς το ίδιο με αυτό του Winnie the Pooh, που ρώτησε ευγενικά τον καλεσμένο του, Tiger, αρέσουν καθόλου οι Τίγρες το μέλι, τα βελανίδια και τα γαϊδουράγκαθα; «Στις τίγρεις αρέσουν τα πάντα», απάντησε εκείνος από τον οποίο ο Kubus κατέληξε στο συμπέρασμα ότι αν τους αρέσουν τα πάντα, τότε τους αρέσει επίσης να κοιμούνται στο πάτωμα, επομένως, αυτός, ο Vinnie, μπορεί να επιστρέψει στο κρεβάτι.

Άλλο ένα επιχείρημα Το παράδοξο του Ράσελ. Υπάρχει ένας κουρέας στην πόλη που ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ξυρίζεται μόνος του; Και οι δύο απαντήσεις έρχονται σε αντίθεση με την δηλωθείσα προϋπόθεση ότι σκοτώνουν εκείνους, και μόνο εκείνους που δεν το κάνουν οι ίδιοι.

Ψάχνετε για τη συλλογή όλων των συλλογών

Εν κατακλείδι, θα δώσω μια έξυπνη, αλλά πιο μαθηματική απόδειξη ότι δεν υπάρχει σύνολο από όλα τα σύνολα (για να μην συγχέεται με αυτό).

Αρχικά, θα δείξουμε ότι για οποιοδήποτε μη κενό σύνολο X είναι αδύνατο να βρεθεί μια αμοιβαία μοναδική συνάρτηση που να αντιστοιχίζει αυτό το σύνολο στο σύνολο των υποσυνόλων του P(X). Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι αυτή η συνάρτηση υπάρχει. Ας το πούμε παραδοσιακό στ. Τι είναι το f του x; Αυτή είναι μια συλλογή. Το xf ανήκει στο x; Αυτό είναι άγνωστο. Ή πρέπει ή όχι. Αλλά για κάποιο x πρέπει ακόμα να είναι τέτοιο ώστε να μην ανήκει στο f του x. Λοιπόν, εξετάστε το σύνολο όλων των x για τα οποία το x δεν ανήκει στην f(x). Ας το συμβολίσουμε (αυτό το σύνολο) με Α. Αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο α του συνόλου Χ. Το α ανήκει στο Α; Ας υποθέσουμε ότι πρέπει. Αλλά το Α είναι ένα σύνολο που περιέχει μόνο εκείνα τα στοιχεία του x που δεν ανήκουν στην f(x)... Λοιπόν, μήπως δεν ανήκει στο Α; Όμως το σύνολο Α περιέχει όλα τα στοιχεία αυτής της ιδιότητας, και επομένως το Α. Τέλος απόδειξης.

Επομένως, αν υπήρχε ένα σύνολο όλων των συνόλων, θα ήταν το ίδιο ένα υποσύνολο του εαυτού του, κάτι που είναι αδύνατο σύμφωνα με τον προηγούμενο συλλογισμό.

Ουφ, δεν νομίζω ότι πολλοί αναγνώστες έχουν διαβάσει αυτά τα στοιχεία. Αντίθετα, το αναφέρω για να δείξω τι έπρεπε να κάνουν οι μαθηματικοί στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, όταν άρχισαν να μελετούν τα θεμέλια της δικής τους επιστήμης. Αποδείχθηκε ότι τα προβλήματα βρίσκονται εκεί που κανείς δεν τα περίμενε. Επιπλέον, για όλα τα μαθηματικά αυτά τα επιχειρήματα σχετικά με τα θεμέλια είναι άσχετα: ό,τι κι αν συμβαίνει στα κελάρια - όλο το κτίριο των μαθηματικών στέκεται πάνω σε έναν συμπαγή βράχο.

Εν τω μεταξύ, στο υψηλότερο επίπεδο...

Ας σημειώσουμε ένα ακόμη ηθικό από τις ιστορίες του Stanislaw Lem. Σε ένα από τα ταξίδια του, ο Iyon Tichi έφτασε σε έναν πλανήτη του οποίου οι κάτοικοι, μετά από μια μακρά εξέλιξη, είχαν επιτέλους φτάσει στο υψηλότερο στάδιο ανάπτυξης. Είναι όλοι δυνατοί, μπορούν να κάνουν τα πάντα, έχουν τα πάντα στα χέρια τους... και δεν κάνουν τίποτα. Ξαπλώνουν στην άμμο και τη χύνουν ανάμεσα στα δάχτυλά τους. «Αν όλα είναι δυνατά, δεν αξίζει τον κόπο», εξηγούν στον σοκαρισμένο Yijong. Ας μην συμβεί αυτό στον ευρωπαϊκό μας πολιτισμό...