Βραβείο Άμπελ

Λίγοι αναγνώστες θα πουν κάτι για το όνομα Άβελ. Όχι, δεν πρόκειται για τον άτυχο νεαρό που σκότωσε ο ίδιος ο αδελφός του Κάιν. Αναφέρομαι στον Νορβηγό μαθηματικό Nils Henrik Abel (1802–1829) και στο βραβείο που πήρε το όνομά του που μόλις απονεμήθηκε (16 Μαρτίου 2016) από τη Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και επιστολές στον Sir Andrew J. Wiles. Αυτό αποζημιώνει τους μαθηματικούς που έμειναν έξω από τον Άλφρεντ Νόμπελ στην κατάταξη της κατηγορίας του σημαντικότερου βραβείου επιστήμης στον κόσμο.

Αν και οι μαθηματικοί εκτιμούν το λεγόμενο. Μετάλλιο Fields (επισήμως θεωρείται η υψηλότερη δάφνη στον τομέα της), συνδέεται με μόλις 15 χιλιάδες. (όχι εκατομμύρια, χιλιάδες!) Καναδικά δολάρια μέχρι τον νικητή Βραβεία Abel βάζει στην τσέπη του μια επιταγή 6 εκατομμυρίων νορβηγικών κορωνών (περίπου 750 8 ευρώ). Οι βραβευθέντες με Νόμπελ λαμβάνουν 865 εκατομμύρια SEK, ή περίπου XNUMX χιλιάδες. ευρώ - λιγότερο από τους τενίστες για τη νίκη σε ένα μεγάλο τουρνουά. Υπάρχουν αρκετοί πιθανοί λόγοι για τους οποίους ο Άλφρεντ Νόμπελ δεν συμπεριέλαβε μαθηματικούς στους πιθανούς νικητές του βραβείου. Η διαθήκη του Νόμπελ ασχολήθηκε με «εφευρέσεις και ανακαλύψεις» που αποφέρουν το μεγαλύτερο όφελος στην ανθρωπότητα, αλλά μάλλον όχι θεωρητικό, αλλά πρακτικό. Τα μαθηματικά δεν θεωρούνταν επιστήμη που θα μπορούσε να αποφέρει πρακτικά οφέλη στην ανθρωπότητα.

Γιατί Άβελ

Ποιος ήταν Niels Henrik Abel και πώς έγινε γνωστός; Πρέπει να ήταν λαμπρός, γιατί αν και πέθανε από φυματίωση σε ηλικία μόλις 27 ετών, είχε μόνιμη θέση στα μαθηματικά. Λοιπόν, ήδη στο γυμνάσιο, μας μαθαίνουν να λύνουμε εξισώσεις. πρώτο βαθμό πρώτα, μετά τετράγωνο και μερικές φορές κυβικό. Ήδη πριν από τετρακόσια χρόνια, οι Ιταλοί επιστήμονες μπόρεσαν να αντιμετωπίσουν Quartic εξίσωσηακόμα και αυτό που φαίνεται αθώο:

και του οποίου ένα από τα στοιχεία

Ναι, οι επιστήμονες θα μπορούσαν να το έχουν κάνει ήδη τον XNUMXο αιώνα. Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι ελήφθησαν υπόψη εξισώσεις υψηλότερων βαθμών. Και τίποτα. Κανείς δεν τα κατάφερε εδώ και διακόσια χρόνια. Ο Niels Abel απέτυχε επίσης. Και τότε κατάλαβε ότι ... ίσως δεν είναι καθόλου δυνατό. Μπορεί να αποδειχθεί η αδυναμία επίλυσης μιας τέτοιας εξίσωσης - ή μάλλον, εκφράζοντας τη λύση με απλούς αριθμητικούς τύπους.

Ήταν το πρώτο από τα 2. χρόνια (!) αυτού του τύπου συλλογισμού: κάτι δεν μπορεί να αποδειχθεί, κάτι δεν μπορεί να γίνει. Το μονοπώλιο σε τέτοιες αποδείξεις ανήκει στα μαθηματικά - οι πρακτικές επιστήμες σπάνε φραγμούς όλο και περισσότερο. Το 1888, ο πρόεδρος της Επιτροπής Διπλωμάτων Ευρεσιτεχνίας των ΗΠΑ δήλωσε ότι «λίγες εφευρέσεις πρέπει να αναμένονται στο μέλλον, επειδή σχεδόν τα πάντα έχουν ήδη εφευρεθεί». Σήμερα είναι δύσκολο να γελάσουμε ακόμη και με αυτό... Στα μαθηματικά όμως, αφού αποδειχτεί, χάνεται. Δεν μπορεί να γίνει.

Η ιστορία χωρίζει την ανακάλυψη που περιέγραψα Νιλς Άμπελ i Εβαρίστα Γκαλουά, πέθαναν και οι δύο πριν τα XNUMX τους, υποτιμημένοι από τους συγχρόνους τους. Ο Niels Abel είναι ένας από τους λίγους Νορβηγούς μαθηματικούς με μεγάλη φήμη (στην πραγματικότητα δύο, ο άλλος είναι Σοφους Λι, 1842-1899 - τα επώνυμα δεν ακούγονται σκανδιναβικά, αλλά και οι δύο ήταν γηγενείς Νορβηγοί).

Οι Νορβηγοί βρίσκονται σε αντίθεση με τους Σουηδούς - δυστυχώς, αυτό είναι σύνηθες στους γειτονικούς λαούς. Ένα από τα κίνητρα για την καθιέρωση του βραβείου Abel από τους Νορβηγούς ήταν η επιθυμία να δείξουν στους συμπατριώτες τους Alfred Nobel: παρακαλώ, δεν είμαστε χειρότεροι.

Κυνηγώντας την ανύπαρκτη καταχώρηση περιθωρίου

Εδώ είναι ο Niels Henrik Abel για εσάς. Τώρα για τον νικητή του βραβείου, έναν 63χρονο Άγγλο (που ζει στις ΗΠΑ). Το κατόρθωμά του το 1993 θα μπορούσε να συγκριθεί μόνο με την αναρρίχηση στο Έβερεστ, την αναρρίχηση στο φεγγάρι ή κάτι τέτοιο. Ποιος είναι ο κύριος Άντριου Γουάιλς? Αν κοιτάξετε τη λίστα με τις δημοσιεύσεις του και τα διάφορα πιθανά ευρετήρια παραπομπών, θα είναι καλός επιστήμονας - υπάρχουν χιλιάδες από αυτά. Ωστόσο, θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς. Η έρευνά του σχετίζεται με τη θεωρία αριθμών και χρησιμοποιεί σχέσεις με αλγεβρική γεωμετρία Όραζ θεωρία αναπαράστασης.

Έγινε διάσημος για την επίλυση ενός προβλήματος το οποίο ήταν εντελώς ασήμαντο από την άποψη των μαθηματικών απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά (ποιος δεν ξέρει τι συμβαίνει - υπενθυμίζω παρακάτω). Ωστόσο, η πραγματική αξία δεν ήταν η ίδια η λύση, αλλά η δημιουργία μιας νέας μεθόδου δοκιμής που χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση πολλών άλλων σημαντικών προβλημάτων.

Είναι αδύνατο να μην αναλογιστούμε σε αυτό το σημείο τη σημασία ορισμένων θεμάτων, την ιεραρχία των ανθρώπινων επιτευγμάτων. Εκατοντάδες χιλιάδες νέοι ονειρεύονται να κλωτσήσουν την μπάλα καλύτερα από άλλους, δεκάδες χιλιάδες θέλουν να εκτεθούν στους ανέμους των Ιμαλαΐων, να πηδήξουν καουτσούκ σε μια γέφυρα, να κάνουν ήχους που λένε τραγούδι, να γεμίσουν ανθυγιεινό φαγητό στους άλλους ... ή να λύσουν μια περιττή εξίσωση για κανέναν . Ο πρώτος κατακτητής του Έβερεστ, Σερ Έντουαρντ Χίλαρι, απάντησε ευθέως στην ερώτηση γιατί πήγε εκεί: "Επειδή είναι, γιατί είναι το Έβερεστ!" Ο συγγραφέας αυτών των λέξεων ήταν μαθηματικός σε όλη του τη ζωή, ήταν η συνταγή μου για τη ζωή. Το μόνο σωστό! Αλλά ας τελειώσουμε με αυτή τη φιλοσοφία. Ας επιστρέψουμε στον υγιή δρόμο των μαθηματικών. Γιατί όλη η φασαρία για το Θεώρημα του Φερμά;

Υποθέτω ότι όλοι ξέρουμε τι είναι πρώτοι αριθμοί. Σίγουρα όλοι καταλαβαίνουν τη φράση «αποσυντίθενται σε πρωταρχικούς παράγοντες», ειδικά όταν ο γιος μας μετατρέπει τα ρολόγια σε μέρη.

Πιερ ντε Φερμά (1601-1665) ήταν δικηγόρος από την Τουλούζη, αλλά ασχολήθηκε και με ερασιτεχνικά μαθηματικά και με αρκετά καλά αποτελέσματα, γιατί πέρασε στην ιστορία των μαθηματικών ως συγγραφέας πολλών θεωρημάτων της θεωρίας και της ανάλυσης αριθμών. Τις παρατηρήσεις και τα σχόλιά του τις έβαζε στο περιθώριο των βιβλίων που διάβαζε. Και ακριβώς - γύρω στο 1660, έγραψε σε ένα από τα περιθώρια:

Εδώ είναι ο Pierre de Fermat για εσάς. Από την εποχή του (και επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι ο γενναίος Γασκώνος ευγενής d'Artagnan ζούσε στη Γαλλία εκείνη την εποχή και ο Andrzej Kmitsich πολέμησε με τον Bohuslav Radziwill στην Πολωνία), εκατοντάδες, και ίσως ακόμη και χιλιάδες μεγάλοι και μικροί μαθηματικοί προσπάθησαν ανεπιτυχώς να ανακατασκευάσουν το χαμένο σκεπτικό ενός πανέξυπνου ερασιτέχνη . Αν και σήμερα είμαστε σίγουροι ότι η απόδειξη του Φερμά δεν μπορεί να είναι σωστή, ήταν ενοχλητικό ότι η απλή ερώτηση του αν εξίσωση xⁿ + yⁿ = dⁿ, n> 2 έχει λύσεις σε φυσικούς αριθμούς? μπορεί να είναι τόσο δύσκολο.

Πολλοί από τους μαθηματικούς που ήρθαν στη δουλειά στις 23 Ιουνίου 1993, βρήκαν στο e-mail τους (που τότε ήταν μια φρέσκια, ακόμα ζεστή εφεύρεση) ένα λακωνικό μήνυμα: «Φήμες από τη Βρετανία: Ο Wiles αποδεικνύει τον Φερμά». Την επόμενη μέρα ο ημερήσιος Τύπος έγραψε γι' αυτό και η τελευταία από τη σειρά διαλέξεων του Wiles συγκέντρωσε τον Τύπο, την τηλεόραση και τους φωτορεπόρτερ - όπως ακριβώς σε ένα συνέδριο ενός διάσημου ποδοσφαιριστή.

Όποιος διάβασε το «Σατανάς από την έβδομη τάξη» του Kornel Makuszyński σίγουρα θυμάται τι έκανε ο κ. Iwo Gąsowski, αδελφός του καθηγητή ιστορίας, του οποίου το σύστημα ανακρίσεων μαθητών που ανακάλυψε ο Adaś Cisowski. Ο Iwo Gąsowski έλυνε την εξίσωση Fermat, χάνοντας χρόνο, περιουσία και παραμελώντας το σπίτι:

Τελικά, ο κ. Iwo κατάλαβε ότι τα νομοσχέδια για τις εξουσίες δεν θα εξασφάλιζαν την ευτυχία της οικογένειας και τα παράτησε. Ο Makuszyński δεν του άρεσε η επιστήμη, αλλά είχε δίκιο για τον κ. Gąsowski. Ο Iwo Gąsowski έκανε ένα θεμελιώδες λάθος. Δεν προσπάθησε να γίνει ειδικός με την καλή έννοια της λέξης, αλλά ενήργησε σαν ερασιτέχνης. Ο Andrew Wiles είναι επαγγελματίας.

Η ιστορία του αγώνα ενάντια στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι ενδιαφέρουσα. Μπορεί να φανεί πολύ απλά ότι αρκεί η επίλυσή τους για εκθέτες που είναι πρώτοι αριθμοί. Για n = 3 η λύση δόθηκε το 1770. Leonard Euler, για n = 5 - Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1828) και Adrienne Marie Legendre το 1830, και στο n = 7 - Γκάμπριελ Λαμέ το 1840. Τον XNUMXο αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός αφιέρωσε το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειάς του στο πρόβλημα του Φερμά Ερνστ Έντουαρντ Κούμερ (1810-1893). Αν και δεν πέτυχε την τελική επιτυχία, απέδειξε πολλές ειδικές περιπτώσεις και ανακάλυψε πολλές σημαντικές ιδιότητες των πρώτων αριθμών. Μεγάλο μέρος της σύγχρονης άλγεβρας, της θεωρητικής αριθμητικής και της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών οφείλει την προέλευσή του στο έργο του Kummer για το θεώρημα του Fermat.

Κατά την επίλυση του προβλήματος του Fermat με μεθόδους της κλασικής θεωρίας αριθμών, χωρίστηκαν σε δύο διαφορετικές περιπτώσεις πολυπλοκότητας: την πρώτη, όταν υποθέτουμε ότι το γινόμενο xyz είναι συμπρώτο με τον εκθέτη n, και τη δεύτερη, όταν ο αριθμός z διαιρείται εξίσου με τον εκθέτης. Στη δεύτερη περίπτωση, ήταν γνωστό ότι δεν υπήρχαν λύσεις μέχρι n = 150 και στην πρώτη περίπτωση, μέχρι n = 000 (Lehmer, 6). Αυτό σήμαινε ότι ένα πιθανό αντιπαράδειγμα θα ήταν αδύνατο σε κάθε περίπτωση: θα απαιτούσε λογαριασμούς δισεκατομμυρίων ψηφίων για να το αποκτήσετε.

Εδώ είναι μια παλιά ιστορία για εσάς. Στις αρχές του 1988 ήταν γνωστό στον μαθηματικό κόσμο ότι Yoichi Miyaoka απέδειξε κάποια ανισότητα, από την οποία προκύπτει το εξής: αν μόνο ο εκθέτης n είναι αρκετά μεγάλος, τότε η εξίσωση του Fermat σίγουρα δεν έχει λύσεις. Σε σύγκριση με το λίγο προγενέστερο αποτέλεσμα του Γερμανού Γκερντ Φάλτινγκς (1983) Το αποτέλεσμα του Miyaoka σήμαινε ότι αν υπάρχουν λύσεις, τότε (από την άποψη της αναλογικότητας) υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός από αυτές. Έτσι, η λύση του προβλήματος του Fermat περιορίζεται στην παράθεση του τέλους πολλών περιπτώσεων. Δυστυχώς, πόσα από αυτά δεν ήταν γνωστά: οι μέθοδοι που χρησιμοποίησε η Miyaoka δεν επέτρεψαν να εκτιμηθεί πόσες ήταν ήδη «σε τάξη».

Αξίζει να σημειωθεί εδώ ότι για πολλά χρόνια η μελέτη του θεωρήματος του Fermat γινόταν όχι στο πλαίσιο της καθαρής θεωρίας αριθμών, αλλά στο πλαίσιο της αλγεβρικής γεωμετρίας, ενός μαθηματικού κλάδου που προέρχεται από την άλγεβρα και μια επέκταση της καρτεσιανής αναλυτικής γεωμετρίας, και τώρα εξαπλώνεται σχεδόν παντού: από τα θεμέλια των μαθηματικών (θεωρία τόποι στη λογική), μέσω της μαθηματικής ανάλυσης (κοομολογικές μέθοδοι, λειτουργικά στάχυα), κλασική γεωμετρία, έως τη θεωρητική φυσική (διανυσματικά πακέτα, χώροι συστροφής, σολιτόνια).

Όταν οι τιμές δεν δίνουν σημασία

Είναι επίσης δύσκολο να μην λυπηθεί κανείς για την τύχη του μαθηματικού, του οποίου η συμβολή στη λύση του προβλήματος του Φερμά είναι πολύ σημαντική. Μιλάω για τον ΑρακιήλΣουρέν Γιούριεβιτς Αρακέλοφ, Ουκρανός μαθηματικός με αρμενικές ρίζες), ο οποίος στις αρχές της δεκαετίας του '80, όταν ήταν στο τέταρτο έτος του, δημιούργησε το λεγόμενο. θεωρία τομής στις αριθμητικές ποικιλίες. Τέτοιες επιφάνειες είναι γεμάτες τρύπες και ημιτελείς, και οι καμπύλες πάνω τους μπορεί ξαφνικά να εξαφανιστούν, σαν να λέγαμε, και μετά να επανεμφανιστούν. Η θεωρία τομής εξηγεί τον τρόπο υπολογισμού του βαθμού τομής τέτοιων καμπυλών. Ήταν το κύριο εργαλείο που χρησιμοποιούσαν οι Faltings και Miyaoka στην εργασία τους για το πρόβλημα του Fermat.

Κάποτε ο Arakelov προσκλήθηκε να παρουσιάσει τα αποτελέσματά του σε ένα μεγάλο μαθηματικό συνέδριο. Ωστόσο, επειδή ήταν επικριτικός για το σοβιετικό σύστημα, του αρνήθηκαν την άδεια να φύγει. Σύντομα κλήθηκε στο στρατό. Απέδειξε προκλητικά ότι ήταν κατά της στρατιωτικής θητείας γενικά για ειρηνιστικούς λόγους. Όπως έμαθα από μάλλον αμφίβολες πηγές, φέρεται να στάλθηκε σε κλειστό ψυχιατρείο, όπου πέρασε περίπου ένα χρόνο. Όπως γνωρίζετε, προφανώς για πολιτικούς σκοπούς, οι Σοβιετικοί ψυχίατροι ξεχώρισαν έναν ειδικό τύπο σχιζοφρένειας (στα αγγλικά από, που σημαίνει "νωθρός", στα ρωσικά νωθρή σχιζοφρένεια).

Είναι δύσκολο να πω εκατό τοις εκατό πώς ήταν πραγματικά, γιατί οι πηγές πληροφοριών μου δεν είναι πολύ αξιόπιστες. Προφανώς, αφού έφυγε από το νοσοκομείο, ο Arakelov πέρασε αρκετούς μήνες σε ένα μοναστήρι στο Zagorsk. Αυτή τη στιγμή ζει στη Μόσχα με τη σύζυγό του και τα τρία παιδιά του. Δεν κάνει μαθηματικά. Ο Andrew Wiles είναι γεμάτος τιμές και χρήματα.

Από τη σκοπιά μιας καλοθρεμμένης ευρωπαϊκής κοινωνίας, το βήμα είναι επίσης ακατανόητο Γκριγκόρι Πέρελμαν, ο οποίος το 2002 έλυσε το πιο διάσημο τοπολογικό πρόβλημα του XNUMXου αιώνα.Εικασία PoinariΚαι τότε απέρριψε όλα τα πιθανά βραβεία. Πρώτα το μετάλλιο Fields που αναφέρθηκε στην αρχή, το οποίο οι μαθηματικοί θεωρούν ισοδύναμο με το βραβείο Νόμπελ, και στη συνέχεια το βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για την επίλυση ενός από τα επτά πιο σημαντικά μαθηματικά προβλήματα που έχουν απομείνει από τον εικοστό αιώνα. «Άλλοι ήταν καλύτεροι, δεν με νοιάζουν οι τιμές, γιατί τα μαθηματικά είναι το χόμπι μου, έχω φαγητό και τσιγάρα», είπε λίγο πολύ στον έκπληκτο κόσμο.

Επιτυχία μετά από περισσότερα από 300 χρόνια

Το μεγάλο θεώρημα του Φερμά ήταν σίγουρα το πιο διάσημο και αποτελεσματικό μαθηματικό πρόβλημα. Ήταν ανοιχτό για περισσότερα από τριακόσια χρόνια, διατυπώθηκε με πολύ σαφή και ευανάγνωστο τρόπο και ήταν θεωρητικά δυνατό να επιτεθεί από οποιονδήποτε, και στην εποχή της εκλαΐκευσης των υπολογιστών ήταν σχετικά εύκολο να προσπαθήσουμε να σπάσουμε ένα άλλο ρεκόρ στην αξιολόγηση ΠΙΘΑΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Στην ιστορία των μαθηματικών, αυτό το ζήτημα, μέσω του εμπνευστικού του ρόλου, έπαιξε έναν πολύ σημαντικό ρόλο «διαμόρφωσης πολιτισμού», συμβάλλοντας στην εμφάνιση ολόκληρων μαθηματικών κλάδων. Αυτό είναι περίεργο καθώς το ίδιο το πρόβλημα είναι σχετικά ασήμαντο και οι απλές πληροφορίες για την έλλειψη ριζών στην εξίσωση Fermat δεν συνέβαλαν πολύ στο γενικό θησαυροφυλάκιο της μαθηματικής γνώσης.

Το 1847, ο Gabriel Lamet (1795-1870) έδωσε μια διάλεξη στη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών ανακοινώνοντας τη λύση στο πρόβλημα του Fermat. Ωστόσο, έγινε αμέσως αντιληπτό ένα λεπτό λάθος στη συλλογιστική. Βασίστηκε στη μη εξουσιοδοτημένη χρήση του μοναδικού θεωρήματος της αποσύνθεσης. Θυμόμαστε από το σχολείο ότι κάθε αριθμός έχει μια μοναδική κατανομή σε πρώτους παράγοντες, για παράδειγμα, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Ο αριθμός 503 δεν έχει διαιρέτες (εκτός από το 1 και το 503), επομένως δεν μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω.

Η ιδιότητα μοναδικότητας διανομής κατέχεται από θετικούς ακέραιους, αλλά μεταξύ άλλων αριθμητικών συνόλων, δεν χρειάζεται να είναι. Για παράδειγμα, για αριθμούς χαρακτήρων

έχουμε 36 = 2²⋅2³ ,αλλά επίσης

Αναλύοντας την απόδειξη του Lame, ο Kummer μπόρεσε να αποδείξει την εγκυρότητα της εικασίας του Fermat για ορισμένους εκφραστές του p. Τους ονόμασε κανονικούς πρώτους. Αυτό ήταν το πρώτο σημαντικό βήμα προς μια πλήρη απόδειξη. Ένας μύθος έχει αναπτυχθεί γύρω από το θεώρημα του Φερμά. "Ή μήπως είναι ακόμα χειρότερο - ίσως δεν μπορείτε καν να αποδείξετε ότι είναι δυνατό ή αδύνατο να λυθεί;"

Αλλά από τη δεκαετία του '80 όλοι ένιωθαν ότι ο στόχος ήταν κοντά. Θυμάμαι ότι το Τείχος του Βερολίνου ήταν ακόμα όρθιο, και άκουγα ήδη διαλέξεις για το «σύντομα, σε μια στιγμή». Λοιπόν, κάποιος έπρεπε να είναι πρώτος. Ο Andrew Wiles τελείωσε τη διάλεξή του με ένα αγγλικό φλέγμα: «Νομίζω ότι ο Fermat το αποδεικνύει», και χρειάστηκε λίγος χρόνος μέχρι το κατάμεστο κοινό να συνειδητοποιήσει τι είχε συμβεί: ένα μαθηματικό πρόβλημα 330 ετών το δούλεψαν εντατικά εκατοντάδες μαθηματικοί από το το ίδιο το σύνταγμα και αμέτρητους ερασιτέχνες, όπως ο Ivo Gonsovsky από τα μυθιστορήματα του Makushinsky. Και ο Andrew Wiles είχε την τιμή να δώσει τα χέρια με τον Harald V, βασιλιά της Νορβηγίας. Ίσως δεν έδωσε σημασία στο μέτριο επίδομα για το βραβείο Abel, περίπου αρκετές εκατοντάδες χιλιάδες ευρώ - γιατί χρειάζεται τόσα χρήματα;